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虚数の意味

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質問者

love_again_ohさん

2006/12/2621:42:25

虚数の意味

虚数というと、二乗してマイナスになる数のことですが、
そのような数を考えていくことに、どういった意義があるのかを
初心者にもわかる程度に教えてください。
(一応ですが、大学は卒業していますが、高校で履修した数学については
あまり自信がありません)

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ベストアンサーに選ばれた回答

2006/12/2707:29:00

確かに、私たちの日常生活で複素数が出てくることは無いですね。
その意味で、日常生活での複素数の「意義」は無いとも言えます。

電子工学業界であれば、回路設計で複素数を使って表現することがあります。
虚数を使った方が計算が楽になるからです。

一方で、素粒子を扱う量子力学では複素数が大活躍です。
人間にとっての「意義」なんてどうでもよく、量子力学の計算では複素数が無いと成り立たないぐらいのものです。
つまり、自然を表現するために複素数は無くてはならないものなのです。

見方を変えると、複素数こそが「本当の自然の姿」であり、その一部である実数部分のみ日常生活で見ている、と言えます。
物理や数学の業界では、人間にとっての意味、意義、価値なんて、どうでもよいものとも言えます。

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move_gifさん

2006/12/2719:08:35

ある数学者(名前は忘れてしまった・・・)が x^2+1=0 という2次方程式(実際はもっと違った形だったのかもしれないが)を解こうとした時、根(解)が二乗すると-1になる、すなわち x^2=-1 となるxが実数(当時しられていた数)にない事に気が付いた
しかし、数学に完全性を持たせる為この方程式に根を持たせなくてはならない
そこで、この根を新たに i という数を定義し、求めた
無論 i^2=-1 を満たす

当時はこの新たな数iが何かの役に立つとは思われていなかった
まず、数直線上にはどこにも見当たらないのだから・・・それいえ『想像上の数』(ImaginaryNumber)戸まで言われたのだ
現在でも虚軸のことを英語でImと略して書く

ここで、ガウスが登場する

ガウスはある時この新たな数iで遊んでいた
その最中にこのiの住処を見出したのだ!

それが、かの有名なガウス平面(複素平面←高校ではこっちで教わるのかな?)の虚軸である

更に、後の物理学者は虚数を使えばある分野で非常にすっきりとした理論を作れる事に気が付き、電気技師は振動電流(要は交流)の解析に虚数を用いる
交流解析をまともに三角関数・微分・積分を駆使して行えば(実際の電流変化などは顕著に把握できる⇒むしろ本質だが・・・)非常に煩雑であり、大変である
ここに虚数を導入するだけで、四則演算(複素数を含む)のみを使用することで交流解析を行え、且つ、すっきりと書けるのである

純粋数学の分野では、オイラーの公式と言う下記の有名な式がある
これは、三角関数と指数関数を結ぶ重要な式である
e^(i・θ)=cosθ+i・sinθ
ここで、θ=πを代入して整理すれば、最も美しい等式と揶揄されるオイラーと等式が出てくる
e^(i・π)+1=0
何が美しいかと言えば、この等式に現れる数が最も基本的な数のみであると言う事である
e:ネイピア数 , i:虚数 , π:円周率 , 1:乗法の単位元 , 0:加法の単位元
ネイピア数は微積の重要な定数だし、虚数は以上の事柄、円周率は周知の通り、単位元とはある演算における基本的な数(とでも言っておこう)であるからだ


と言った事ですね

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golem_zeeさん

編集あり2006/12/2714:56:25

虚数は我々には意味の分からないものです。

たまたま便利な性質が見つかればそれは意味は分からなくても使えます。(電子工学での計算)

量子力学において、虚数を使えば上手く運動方程式のようなものが記述できることが分かり、それにより自然の振舞いを(意味はよく分からずながら)より理解できます。

そのようなことです。
つまり、我々の数学、物理学では記述できない、いわば霊妙なものが有ると言うことです。

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編集あり2006/12/2700:50:28

1、虚数導入の経緯
まず歴史的にいうと、3次方程式や4次方程式の解の公式を算出する上で、√-1という数を導入する必要がありました。
下記は参考サイト【カルダノの解法】
http://members.ld.infoseek.co.jp/aozora_m/taiwaN/taiwaNch02/node11....
(微かにでも)ご記憶にあるかもしれませんが、2次方程式の解の公式では√は出てきても√の中を負にする必要性はありません。(中学では√の中は0以上のはず)
しかし、3次方程式や4次方程式の一般的な代数的解法では、√-1の定義が必要です。3次方程式や4次方程式は実数だけの解しか持たない場合もありますが、そんな場合も含めて解の公式では明示的に√-1(=i)が必要となります。
当初、後に虚数単位と名付けられる√-1(=i)は方程式を解く過程での便宜上のものと考えられました。
現実には存在しなくても便利なモノがあります。数学は、論理性を保っているなら、現実にはないように見えるものでも導入します。
あくまでたとえですが、
(1) 鏡の中に映った虚像は現実には存在しないものです。左右が逆になっている。しかし、鏡を使って自分の顔の汚れとか髪の乱れとかを知ることができます。
(2) ネットの世界は仮想世界でしょうか、現実世界でしょうか。よく分かりませんね。でも便利ですよね。

2、現代における虚数の意義
最初に述べたように、最初は方程式解法をすっきりさせるために数学者も無理矢理に(半ば嫌々ながら?)導入した虚数でしたが、そのうちにいろいろな式(関数)に虚数を代入する学者が現れたようです。
【便宜上のもの】とはいえ、数(のようなもの)としていったん導入してしまうと、色々と遊んでみたくなるのでしょう。数学にも遊び心が大事です。
そして、虚数(→複素数という仕組み!)を使うと、三角関数と指数関数が結びつくことが分かりました。
実数は数直線上の点に対応します。
複素数は平面上の点に対応します。
線という1次元だった数「実数」が面という2次元の数「複素数」に拡張され、次元が増えたことによって切り口が増えて、問題の解決方法も拡がりました。
※そして、数学を応用する分野、物理学や工学では、電磁気学や量子力学、波動関数などに虚数が使われています。現実世界の解析の手段として虚数は欠かせない存在となりました。

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starfoxzeroさん

2006/12/2622:22:27

虚数と実数を併せて複素数と言います。

実数の世界に話を限ってしまうと、二次方程式の解の個数は2個だったり0個だったりしてしまいます。
しかし、虚数解まで含めると、全ての二次方程式が2個の解を持つことになります(ただし、重解は2つの解とする)。

ここまで断り無く二次方程式を実数係数二次方程式に限定してきましたが、係数に虚数が含まれていても同様に、2個の複素数解を持ちます。
さらに、三次方程式なら3個、四次方程式なら4個…というように言え、
究極的には、

「全ての(複素数係数)n次方程式はn個の複素数解を持つ。」

となります。係数によって解の個数が変わってしまうよりは、虚数まで話を広げて「n次ならn個!」って断言できる方がシンプルだと思いますよ?

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kou_cronosさん

2006/12/2622:18:28

虚数というと、「あれば便利なもの」と言った考え方でいいと思います。虚数があることですごく簡単に求められるものもあります。

例えば電気関係。電源は交流50(60)Hzということは知っていますよね?交流と言うことは、+になったり-になったりします。絶対値を取ると…0になってしまうはずです。簡単に言うと、平均すると電気は流れない。電力が0になります。でも問題なく電化製品は動く。どうしてか?
そこで虚数を使うと、電力を波ではなく円のように表すことができるのです。「電力は一定で、方向が変わる」と言うことを簡単に表せるんです。

まぁ簡単に言うとこんな感じです。
注意:上の説明は簡単のために様々な要因を無視し、半ば強引な理論で書いているので、鵜呑みにはしないでください。

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