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円の断面2次モーメントの求め方を教えて下さい。 直径D、中心からの距離をyとし...

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質問者

mekaru2さん

2007/9/1415:55:23

円の断面2次モーメントの求め方を教えて下さい。
直径D、中心からの距離をyとしたとき、dA=(横幅)×dyと定義して積分しても、πd^4/64になりません。横幅はyとdから三平方の定理を使って算出しています。

このやり方だと式の中にπがないので、πd^4/64にならないのが当然なのはわかるのですが、dA=(横幅)×dy と定義することのどこが間違っているのかわかりません。
どうかご指南のほどお願い致します。

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bbbbb_and_bさん

2007/9/1417:07:02

求め方は間違ってませんよ。
積分を間違えてるんじゃないですか?

直径だと計算式が面倒なので、半径をr(=D/2)とさせていただきます。
横幅=2(r^2-y^2)^(1/2)
ですから、
断面2次モーメント=∫<円内> y^2 dA
=∫<-r, r> y^2 2(r^2-y^2)^(1/2) dy
=2∫<-π/2, π/2> r^2 sin^2(θ) ・ r cosθ・ r cosθdθ (y=r sinθで置換)
=2r^4∫<-π/2, π/2>sin^2(θ) cos^2(θ) dθ
=πr^4/4(=πD^4/64)
となります。
おそらく、この置換積分でどこかの項を忘れたか、三角関数の積分を間違えたかでしょう。

考え方は間違えてないので、落ち着いて計算し直してください。

なお、三角関数の積分でも不定積分にθの項が出てきて、そこからπが出ることがあります。この計算もそうです。

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kksieiksdkさん

2007/9/1711:51:37

IDを変更してしまったので、回答の方から補足致します。
yを三角関数で表せば、確かにπd^4/64になったのですが、yを三角関数で表さなければできないのでしょうか?
x=(r^2-y^2)^(1/2)とおき∫(r^2・y^4-y^6)^(1/2)dy(積分範囲は-r~r)としました。
そこでY=r^2・y^4-y^6 とおき置換積分の∫Ydy と dY/dyから計算したのですが、これだとやはりπが出てこないどころか、答えが0になってしまいました。この考え方はどこが間違っているのかがよくわかりません。
私の数学的な知識不足なのでしょうが、微積分の本で勉強しても、どこでまちがっているのかよくわかりませんでした。
どうかよろしくお願い致します。

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