標準偏差の標準誤差

kts2371148さん

私は統計について素人に近いのですが、回答してみます。
申し訳ありませんが、質問の前半は私には理解できないので、
後半のみ答えさせていただきます。

>> モンテカルロシミュレーションで、n個サンプルを発生させた場合、
>> その分布特性（この場合、標準偏差）を目的とする精度以内にみるためには、
>> nを何個発生させればいいのか悩んでいます。
>> 標準誤差がこの程度であるから、サンプル数はn個で良いというような結論を導きたいです。

ということですね。
これは、区間推定と呼ばれる方法で解決できそうです。


以下、手元にある教科書をほとんど丸写しします。
正規母集団 N(μ,σ^2) から抽出した大きさ n の標本を X1,X2,…,Xn とし、
その実現値を x1,x2,…,xn とします。
標本平均を X0 、標本分散を S^2 とするとき、

(1/σ^2) Σ[i=1～n] (Xi - X0)^2 = nS^2 / σ^2

は自由度 n-1 のカイ２乗分布に従うようです。
このことを用いて、σ^2 の 95%信頼区間を次のようにして求めます。
χ^2_[n-1] (α) の定義から、

Ｐ{ χ^2_[n-1] (0.975) ≦ nS^2 / σ^2 ≦ χ^2_[n-1] (0.025) } = 95%
Ｐ{ nS^2 / χ^2_[n-1] (0.025) ≦ σ^2 ≦ nS^2 / χ^2_[n-1] (0.975) } = 95%

したがって、次の定理が得られます。

（定理）
正規母集団 N(μ,σ^2) から大きさ n の標本を抽出し、
標本分散の実現値を s^2 とすると、母分散の 95%信頼区間は、
[ ns^2 / χ^2_[n-1] (0.025) , ns^2 / χ^2_[n-1] (0.975) ]


この定理を使えば、解決できます。
でも、χ^2_[n-1] (0.025) , χ^2_[n-1] (0.975) の値がわからなければ
意味がありませんので、いくつかだけ書いておきます。

χ^2_[5-1] (0.025) = 11.14
χ^2_[10-1] (0.025) = 19.02
χ^2_[20-1] (0.025) = 32.85
χ^2_[50-1] (0.025) = 70.22
χ^2_[100-1] (0.025) = 128.4

χ^2_[5-1] (0.975) = 0.4844
χ^2_[10-1] (0.975) = 2.700
χ^2_[20-1] (0.975) = 8.907
χ^2_[50-1] (0.975) = 31.55
χ^2_[100-1] (0.975) = 73.36

そして、例えば 5 個のサンプルを発生させ、標本分散を計算し、その値を s^2 とします。
あとは、得られた s^2 の値と、上記のカイ２乗分布の値と、n = 5 を上記の定理に代入すれば、
95% の確率で、母分散は○～○までである、という結果が得られます。
平方根をとれば、95% の確率で母標準偏差は○～○までである、ということもわかります。
あとは実験あるのみ、です。

なお、上記のカイ２乗分布の値は、Excel では、
=CHIINV(0.025,5-1)
という式を入れると χ^2_[5-1] (0.025) が求まります。
また、「カイ２乗分布の値」と書きましたが、正確には「カイ２乗分布の逆関数の値」のようです。