「集合A＝{０，１、ω、ω^2}は乗法に関して閉じている。４数からなる集合Bが乗法に...

ngsatsgさん

ωは1の3乗根でないと、これは成り立ちませんね。

とりあえず、証明してみます。
はっきりいって、かなりスマートでは「ありません」。

B = {0, α, β, γ}とする。
0については、Bのどのような元をかけても0∈B
それ以外の元についてみると、乗法に関して閉じているから
・αβ
・αγ
・βγ
・α^2
・β^2
・γ^2
の答えが、αまたはβまたはγのいずれかにならなければならない。

αβについてみると
・αβ = α ⇒ β = 1…(1)
・αβ = β ⇒ α = 1…(2)
・αβ = γ…(3)
のいずれかの場合がある。
γ^2のとき
・γ^2 = (αβ)^2 = α…(4)
・γ^2 = (αβ)^2 = β…(5)
・γ^2 = (αβ)^2 = γ…(6)
のいずれかの場合がある。

＜追記・訂正＞
(4)の場合、α,β,γのいずれかが1/αなる元があると仮定し、それを掛けて、αβ^2 = βγ = 1
(5)の場合、α,β,γのいずれかが1/βなる元があると仮定し、それを掛けて、α^2β = αγ = 1
(6)の場合、α,β,γのいずれかが1/γなる元があると仮定し、それを掛けて、γ = 1
となる。
(4)のとき、γ = 1/βなる元がなければこの等式を満たさなくなり、γ=1/β=1/α。これはα≠βに反する。よって不適。
(5)のとき、γ = 1/αなる元がなければこの等式を満たさなくなり、γ=1/α=1/β。これはα≠βに反する。よって不適。
(6)のとき、γ = 1/γなる元がなければこの等式を満たさなくなる。γ=1/γ=1⇒γ=1となり、適する。
＜ここまで追記・訂正＞

したがって、(3)の場合にも(4)～(6)より、最終的には1なる元がBに存在する。
(1),(2)も1∈Bであるから、すべての場合において1∈Bが言える。

※ ここではγ = 1として話を進めていきます。
・αγ = α
・βγ = β
・γ^2 = γ

残る以下のパターンについてもみていく。
・αβ = 1…(7) （※右辺がαまたはβだと、どちらかが1になってγと重複するため除外）
・α^2 = βまたは1…(8) （※右辺がαだと、α=1になってγと重複するため除外）
・β^2 = αまたは1…(9) （※右辺がβだと、β=1になってγと重複するため除外）

(8), (9)をみると、
α^2 = 1を満たすαは1または-iがあるが、1はγであるため、α = -iとなる。
同様にβ^2 = 1を満たすβは1または-1があるが、1はγであるため、β = -iとなる。
これは、α=βとなり不適。

よって
・αβ = 1…(7')
・α^2 = β…(8')
・β^2 = α…(9')
を満たすα,β（α≠β）を探せばよい。

(7')に(8')を代入すると
α^3 = 1であるから、α = ω。
α^2 = ω^2 = β
β^2 = ω^4 = ω = α

となり、α = ω、β = ω^2であることが分かる。

したがって B = {0, 1, ω, ω^2}となり、B = Aとなる。

＜追記＞
そういう考え方でしたら、こんなワケの分からない証明はいらないのかもしれませんね…。
ある元をa≠0とした場合、C = {a,a^2,a^3,a^4}の4つの元からなる集合のうち、「1つが同じ数」であることを示せばよいわけです。
つまり
・a = a^2…(10)
・a = a^3…(11)
・a = a^4…(12)
・a^2 = a^3…(13)
・a^2 = a^4…(14)
・a^3 = a^4…(15)
の「いずれか」がが成立していると言うことです。以後、*は×を表します）。

ここでa^(-1) = 1/aなる元についても、{a,a^2,a^3,a^4}のいずれかでなければ、a^(-1)という新たな元が必要になるため、存在していなければならない。
したがって、a^(-1)をかけることも認められる。
よって、(13)はa = a^2、(14)はa = a^3、(15)はa = a^2となることから、議論は(10)～(12)のみでよい。

(10)が真ならば
a^3 = a^2 * a = a * a = a^2 = a
同様にa^4もa^4 = aとなるので、 a=a^2=a^3=a^4となり、重複する元が4つになってしまうわけだから、不適。
このときのaはa = 1だから、これを代入しても明らか。
※ a = 0は自明な解ですし、仮定からもa≠0ですから省略しています。

(11)が真ならば(10)と同様の議論より
a=a^3、a^2=a^4となり、重複する元が2つでてしまう。よって、不適。
このときのaはa^2 = 1⇒a = ±1だから、どちらの解を代入しても明らか。

(12)が真ならば、これを満たすほかの関係式は出てこない。もし仮に新しい元a^5とすると
a^5 = a^4 * a = a * a = a^2
したがって、新しい元a^5はa^5 = a^2となるわけだから、a = a^4と重複する元が1つとなって、適している。
このときのaはa^3 = 1⇒a = 1, ω
ここでa = 1であれば(10)も同時に満たしていることになるため、a = 1は不適。よって a = ω

よって、(12)が成立していることになる。
したがってC = {ω, ω^2, 1}である。

分かりにくければ補足します。
いろいろ訂正して混乱の元ですよね…。すみません。