私の解答の作成は、合っていますでしょうか？ 宜しくお願い致します。 Aを2行2列の...

c18h6さん

1) 固有値が複素数であっても、行列の成分が複素数とは限りません。

例えば、a=d=cosθ、-b=c=sinθ とすると固有値は、複素数ですが、
成分は実数です。
※ a,12 b, c, dは、各々行列Aの11成分、12成分、21成分、22成分

αA+βE= O を満たす実数α,βが α=β=0以外の存在したとする
α≠0とすると
A=(β/α)E
となりAは、Eの実数倍で表される。
A=kEと置く。
条件式に代入すると
A^2+A+E=k^2E^2+kE+E=(k^2+k+1)E=0
E≠0なので
k^2+k+1=0
これを満たす k＝(-1±√3i)/2は、複素数であり、kを実数であることと矛盾する。
これは、α≠0と仮定しためであるから、α=0
このとき
αA+βE= 0A + βE = βE = 0
E≠0なので
β=0
よってαA+βE= O を満たす実数α,βは α=β=0


2)
+y^3 は、+y^3E ですね。

⑧式の直前の式から
-3xy(y-x)A+(x^3-3x^2*y +y^3-1)E = O
x,y が、実数のとき A, Eの係数は、実数であるから 1)より
-3xy(y-x)＝0 …⑨
x^3-3x^2*y +y^3-1=0 …⑩
⑨よりx=0, y=0 または x=y

x=0のとき
⑩より y^3-1=0
y^3-1=(y-1)(y-(-1+√3i)/2)(y-(-1-√3i)/2)=0
yは、実数だから y=1

y=0のとき
⑩より x^3-1=0
上と同様に xは、実数だから x=1

x=yのとき
⑩より x^+1=0
x^+1=(x+1)(x-(1+√3i)/2)(y-(1-√3i)/2)=0
xは、実数だから x=-1
∴y=-1

よって
(xA + yE)^3 = E
を満たす 実数 x, y の組は
(x,y)=(0,1) または、(1,0) または (-1,-1)

追記1：
１）
221成分 ==> 22成分
に直しました。

追記2：
固有値を知らないかもしれないので、ちょっと補足です。
固有値は、固有方程式 |A-xE|=0 の解のことです。| | は行列式を表します。
固有方程式のxの部分にＡを入れたのがケーリー・ハミルトンの定理です。
2x2行列の場合
固有方程式 は、x^2-(a+d)x+ad-bc=0
ケーリー・ハミルトンの定理を使うと
A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=0
問題のように固有方程式の解が複素数であるからとっいって元の行列の成分が
虚数を含んでいるとは限りません。
a=d=1 b=-c=√3 の場合
固有方程式 は、x^2-(1+1)x+(1+3)=0 で解は -1±i√3。
行列の成分はすべて実数ですが、解は複素数です。

解答で cosθ、sinθとしたのは、ちょっと、一般的すぎました。
θの値によっては、固有方程式の解が実数になってしまいます。