解決済みの質問
行列A= (2 2) (1 3) について ハミルトン・ケーリーの定理を用いてA^nを求めるや...
cmdkp768さん
行列A=
(2 2)
(1 3) について ハミルトン・ケーリーの定理を用いてA^nを求めるやり方がわかりません。よろしくお願いします。
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- 質問日時：
- 2008/8/31 19:38:50
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- 解決日時：
- 2008/9/1 09:38:02
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- 回答数：
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ベストアンサーに選ばれた回答
ハミルトン・ケーリーの定理より A^2+5A+4E=O
よって 両辺にA^(n-1)をかけて
A^(n+1)-5A^n+4A^(n-1)=O①
①より A^(n+1)-A^n=4A^n-4A^(n-1)
A^(n+1)-A^n=4{A^n-A^(n-1)}
これより A^(n+1)-A^n=4{A^n-A^(n-1)}=4^2{A^(n-1)-A^(n-2)}=・・・=4^(n-1)(A^2-A^1)=4^n(A-E)
つまり A^(n+1)-A^n=4^n(A-E)②
また①より A^(n+1)-4A^n=A^n-4A^(n-1)
これより A^(n+1)-4A^n=A^n-4A^(n-1)=A^(n-1)-4A^(n-2)=・・・=A-4E
つまり A^(n+1)-4A^n=A-4E③
②-③ 3A^n=4^n(A-E)-(A-4E)
3A^n=(4^n-1)A+(-4^n+4)E
A^n={(4^n-1)/3}A+{(-4^n+4)/3}E
でいかがでしょう
数列の漸化式を解く問題
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1118788276
の要領でやれば解ける
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- 編集日時：2008/8/31 20:35:46
- 回答日時：2008/8/31 20:31:46
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ベストアンサー以外の回答
（1件中1〜1件）
まずx^n(nは2以上)をx^2-5x+4で割った余りを求めます
A^n=(A^2-5A+4E)B+aA+bE
と表せますが、このa,bはx^nをx^2-5x+4で割ったあまりのxの係数と定数項です
ここで、ハミルトンケーリーからA^2-5A+4E=Oなので、A^n=aA+bEとなります
つまり
①x^nをx^2-(Aの対角成分の和)x+(ad-bc)で割った余りを求める(nは2以上)
②A^n=(ハミルトンケーリーの左辺)B+aA+bE
と表せますが、このa,bはx^nをx^2-(Aの対角成分の和)x+(ad-bc)で割ったあまりのxの係数と定数項
③A^n=aA+bE
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- ケータイからの投稿
- 編集日時：2008/8/31 19:53:20
- 回答日時：2008/8/31 19:47:00
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