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正方行列AはA＾５＝０を満たすとする、EはAと同じ単位行列とする（１）背理法を用...

正方行列AはA＾５＝０を満たすとする、EはAと同じ単位行列とする
（１）背理法を用いて、Aが正則でないことを示せ
（２）X=E-Aが正則であることをXの逆行列を与えることにより示せ

（３）Y＝E+Aが正則であることをYの逆行列を与えることにより示せ。
という問題がわかりません、教えてください。

質問日時：

2009/5/18 16:55:41
解決日時：

2009/5/18 17:37:42
回答数：

1
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ベストアンサーに選ばれた回答

（１）
A^(-1)が存在すると仮定する。
A^5=Oの両辺に左側からA^(-1)をかける。
A^(-1)(A^5)=A^(-1)O
{A^(-1)A}(A^4)=O（行列の積の結合法則）
E(A^4)=O
A^4=O
さらに、両辺に左側からA^(-1)をかける。
A^(-1)(A^4)=A^(-1)O
{A^(-1)A}(A^3)=O（行列の積の結合法則）
E(A^3)=O
A^3=O
以下同様にして、A=Oとなる。
これは、Aが正則行列であることに矛盾する。
よって、Aは正則行列でない。

（２）X=E-A
A=E-X
A^5=Oに代入して、
(E-X)^5=O
EX=XEが成り立つので、２項定理が成り立つ。
E^5-5E^4X+10E^3X^2-10E^2X^3+5EX^4-x^5=O
E-5X+10X^2-10X^3+5X^4-x^5=O
5X-10X^2+10X^3-5X^4+x^5=E
5XE-10X^2+10X^3-5X^4+x^5=E
X(5E-10X+10X^2-5X^3+x^4)=E
逆行列の定義より、
x^(-1)=5E-10X+10X^2-5X^3+x^4
すなわち、Xは正則行列である。

（３）
Y=E+A
A=Y-E
A^5=Oに代入して、
(Y-E)^5=O
EY=YEが成り立つので、２項定理が成り立つ。
Y^5-5Y^4E+10Y^3E^2-10Y^2E^3+5YE^4-E^5=O
Y^5-5Y^4+10Y^3-10Y^2+5Y-E=O
Y^5-5Y^4+10Y^3-10Y^2+5YE=E
Y(Y^4-5Y^3+10Y^2-10Y+5E)=E
逆行列の定義より、
Y^(-1)=Y^4-5Y^3+10Y^2-10Y+5E
すなわち、Yは正則行列である。