高校数学の複素関数

arakik10さん

数学教育をろくに知らないのに、自分の学習した記憶を元にして語る人が答えているようです。

高校数学において複素平面が取り上げられていたのは、昭和35年の指導要領と平成元年の指導要領だけなので、戦後の数学教育の歴史から考えるとあったり無かったりします。ぶれていますね。期間から考えると複素平面が無い期間の方が長いので、これを学習指導要領に入れる意味がどこにあるのか、入れる意味をどこまで考えていたかは疑問です。（ただ先生達は指導要領に振り回されているというのは事実でしょう。）

http://www.nicer.go.jp/guideline/old/ 過去の学習指導要領

＞元々行列はありましたが，複素数平面の登場により，世界が広がりました。
というのはウソで、平成元年度の指導要領で「複素数平面」が導入されましたが、「一次変換」が削除されました。ここでそれまでの指導要領ではきちんと教育されていた平面上の点の位置や図形の一次変換という重要な概念が中途半端になってしまい、複素数の四則演算とその図形的意味がただのテクニカルな算法に堕したように思われます(※)。言い換えると理論的体系性がそれ以前の指導要領と比べて崩れているように思われます。（平成10年の指導要領で「一次変換」は復活しましたが、逆に「複素数平面」が消滅しました。やはりチグハグですね。）

※[追記]高校の数学ではx,y-平面上での一次変換しか学習しませんが、一次変換の考え方、計算の技法は3次元, 4次元, ...にも応用がきくものです。これらは複素数の演算では簡単に表現できません（だから複素数の学習だけでは不十分なのです）。一次変換の考え方は、例えばコンピュータグラフィックス（３Ｄのオブジェクトを２Ｄ上に表現する計算）に応用されています。
また「一次変換」「複素数平面」を同時に学習することで、ひとつの座標を2種類の表現で表し、その相互の対応関係を学ぶことができます。これは例えば大学レベルの応用としては、実数の行列の計算で複素数の固有値、固有ベクトルが表れたとき、複素数を実数のベクトルとして表現する必要があります。この知識は基本的には実数しか扱えないコンピュータでの行列計算を理解する上で重要です。
現在、数学的知識をフルに応用する場面では、まず確実にコンピュータを使うでしょう。そのときに複素数の表現とベクトルの表現を同時に学習しておく意味が出てきます。どちらか片方で十分なんてことはあり得ません。[追記終わり]

オイラーの公式を高校の指導要領で公式に教えない理由はわかりません。ただ教育的な立場から考えると「広がりが無い」という主観的な理由ではなく（それに三角関数の微積分を容易にしますしね）、「指数法則（あるいは sin, cos, exp といった初等関数）を複素数に拡張することの理論的な広がりが大きすぎて、高校数学の水準にはなじまない」という理論的な理由があるように思われます(※)。「ドモワブル」を教えるんだったら、「発展として、xを実数に限ってオイラーに触れてもよい」くらいの扱いがあってもいいと、わたしは思いますけどね（三角関数の加法定理と首尾一貫しているくらいの計算はやらせられるから）。

※[追記]まず高校の教科書では、「指数法則」と「指数関数」の間に論理的には飛躍があります（ただしこの論理の飛躍を埋めるための理論は大学レベルです）。ｎが自然数のときの数の「ｎ乗」「ｎ乗根」の直感的な定義はありますので、ｎが有理数までなら定義できますが、そのｎに実数を代入してもよいという論理は教科書には書いていません（だから指数関数のなめらかさは高校の教科書レベルでは、論理的には「仮説」レベルなのです）。
その定義の曖昧な指数関数に「複素数を代入する」という計算は、高校数学では到底説明できません。
またオイラーの公式はテイラー展開という無限級数に基づいていますが、これも「無限に数を足す」というビミョーな計算ですから、本当に成り立っていることを理論的に理解するのは大学レベルの数学です。また exp(ix) が考えられるなら exp(x+iy) やその逆関数のような計算も自在にできないと…と考え出すと、大学の「複素解析」の授業が必要になります。ちょっと高校数学で「つまみ食い」するにはハードですね。[追記終わり]

fffdddooo1さん、回答がむちゃ長くなってごめんなさい。

[蛇足] rrryw2さん、質問があるなら、ここではなくきちんとした知恵袋の質問として出すべきではないですか？

h17kasujoさん

複素数の積が図形の回転や拡大縮小を表すという部分は、行列で置き換えられたのだと思います。
オイラーの公式といってもテーラー展開などを学ばないと難しいでしょうし、行列でも同等とまで行かずとも
対応できるでしょうし。