四元数群Q_8=<a,b|a^4=1,a^2=b^2,(b^-１)ab=a^-1>が<a,b>={±1,±a,±b,±ab}であるこ...

puit578さん

完全に間違ってると思う。
少なくとも俺の回答では、「a^2=b^2」を使わなければ、絶対に
<a,b>={1,a,a^2,a^3,b,ab,(a^2)b,(a^3)b}なんて結論は出てこない。
たとえばb^(-1)は1,a,a^2,a^3,b,ab,(a^2)b,(a^3)bのどれになると
思ったの？

あと-1は(-1)^2=1だから、1とは異なるが、2乗すると1になる数…○
というイメージで。

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・以下本題・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

まず補題から
実はQの元xが、x^2=1となるとき、x=1あるいは-1であることがいえる。…※
※の証明
x^2=1のとき、xの位数は2の約数となる。
xの位数が1のとき
x=1となる。
xの位数が2のとき
xは1とは異なり、x^2=1となるから、○よりx=-1がいえる。
※の証明ここまで

<a,b>={1,a,a^2,a^3,b,ab,(a^2)b,(a^3)b}であることの証明

b^(-1)ab=a^(-1)より、a^4=1，ba=a^3*b，b^2=a^2を用いれば
<a,b>の元、例えばbabaを計算するとbaba=(ba)(ba)=(a^3*b)(a^3*b)
=a^3(ba^3)b=a^3*a^9*b*b=a^12*b^2=b^2=a^2

またa^2=b^2という性質があるから、b^4=a^4=1がいえるので
b^(-1)=b^3もいえる。
a^(-1)=a^3とb^(-1)=b^3を考慮すると、<a,b>の任意の元は
a,bのみで構成されることがわかる。

ba=a^3*bを用いて、<a,b>の任意の元を整理する。
(aとbごちゃまぜの状態)=…=……ba……=……a^3*b……=…=a^s*b^t
(ただしs,tは0以上の整数)
ここでa^4=b^4=1を考慮すると、
<a,b>の任意の元はa^s*b^tと書けることがわかる。
ただし、s,tは0以上3以下の整数

s=0,1かつt=2のとき
b^2=a^2より
a^s*b^2=a^(s+2)

s=2,3かつt=2のとき
b^2=a^2より
a^s*b^2=a^(s+2)=a^(s-2)

s=0,1かつt=3のとき
b^2=a^2より
a^s*b^3=a^(s+2)*b

s=2,3かつt=2のとき
b^2=a^2より
a^s*b^3=a^(s+2)*b=a^(s-2)*b

以上より<a,b>の任意の元は1,a,a^2,a^3,b,ab,(a^2)b,(a^3)b
のいずれかであることがわかる。
よって、<a,b>⊆{1,a,a^2,a^3,b,ab,(a^2)b,(a^3)b}がわかる。
<a,b>⊇{1,a,a^2,a^3,b,ab,(a^2)b,(a^3)b}は明らかだから
<a,b>={1,a,a^2,a^3,b,ab,(a^2)b,(a^3)b}がわかる。

a^4=1から、aの位数が4の約数になることがいえる。
aの位数が2以下と仮定するとa^2=1となる。このときb^2=a^2=1となる。
したがって、※よりa,bともに1,-1のどちらかとなり不合理

したがってaの位数は4となる。このとき(a^2)^2=a^4=1だから、
※よりa^2は1または-1となるが、aの位数は4だからa^2=1とは
なりえない、よってa^2=-1となる。

よってa^2=-1，a^3=-a，a^2*b=-b，a^3*b=-abがいえるから
<a,b>={1,a,a^2,a^3,b,ab,(a^2)b,(a^3)b}={±1，±a，±b，±ab}
となることがわかる。

＞dezaike999さん
めちゃくちゃとしか言いようがないですね。まず、G/<a>={1,b}なんて明らかに
言えないです。
G/<a>が位数2の群であることはいいけど、G/<a>の生成元はbではなく
b+<a>ではないでしょうか。

次に私には、G/<a>={1,b}からなぜG={1,a,a^2,a^3,b,ab,(a^2)b,(a^3)b}
がいえるのかわからないです。
良ければ、証明していただけますか？