線形代数の固有値と固有ベクトルに関する問題が分かりません＞＜ 基本から分からな...

amirin070さん

（第１問）
A=
┌p.....1-p┐
.|
└1-q.....q┘

固有値、固有ベクトルをまず求めます。

|A-λE|=0となるλなのですが、2×2の場合は幸いケーリーハミルトンの式の形が有名で、この定理によって、固有方程式はまったく同じ形してるのがわかりますo(^0^)o

λ^2-(p+q)λ+(p+q-1)=0
(λ-1)(λ-(p+q-1))=0
λ=1, p+q-1

(1)固有値１で
A-1E=
┌p-1....1-p┐
.|
└1-q....q-1┘なので、固有ベクトルは[1,1]
よって、
.....┌1┐┌1┐
A^n|.....|=|.....|........(1)
.....└1┘└1┘


(2)固有値(p+q-1)で
A-(p+q-1)E=
┌1-q...1-p┐
.|
└1-q...1-p┘なので、固有ベクトルは[1-p,-(1-q)]

よって、
.....┌..1-p...┐............┌...1-p..┐
A^n|.............|=(p+q-1).|.............|........(2)
.....└-(1-q)┘............└-(1-q).┘

(1),(2)より、
......┌1......1-p┐..┌1.....(p+q-1)^n*(1-p)┐
A^n.|.................|=..|...................................|
......└1..-(1-q)┘..└1...-(p+q-1)^n*(1-q)┘

.....┌1.....0┐
⇒...|...........|...(n→∞)
.....└1.....0┘

あとはお願いしまーす(^0^)/(逆行列かけるだけ)




（第２問）
(1)
A=
┌2...1...0┐
.|..1...2...1.|
└0...1...2┘

幸い対称行列です(^0^)/
必ず正規直交行列で対角化できることが知られてます。

|A-λE|=

|2-λ....1........0|
|..1....2-λ......1|=0
|..0......1....2-λ|

サラスの公式より、
(2-λ)^3+0+0-0-(2-λ)-(2-λ)=0
(λ-2)(λ^2-4λ+2)=0
λ=2,..2±√2

(a)固有値2で
A-2E=
┌0...1...0┐
.|..1...0...1.|
└0...1...0┘
固有ベクトルは[1,0,-1]

(b)固有値2-√2で
A-(2-√2)E=
┌√2...1...0┐
.|..1...√2...1.|
└0...1...√2┘
固有ベクトルは[1,-√2,.1]

(c)固有値2+√2で
A-(2+√2)E=
┌-√2...1...0┐
.|..1...-√2...1.|
└0...1...-√2┘
固有ベクトルは[1,√2,.1]


(2)ハミルトンケーリーの定理より明らかなんですが、、、
証明するには、固有ベクトル出すのに使った3つの行列の積、
(A-2E)(A-(2-√2)E)(A-(2+√2)E)=Oになるのを確かめましょう。
これ、元の固有多項式と同じ形ですよねo(^-^)o

(3)A^n=(A^3-6A^2+10A-4E)*Q(A)+(Aの2次以下の式)...(←余り)
になるので当然ですねo(^0^)o
AとEは交換法則が成り立つので、整式視できますo(^-^)o

(4)
A^ｎ=a[n]A^2＋ｂ[n]A＋ｃ[n]E

A^(n+1)=a[n+1]A^2＋b[n+1]A＋ｃ[n+1]E
=A*A^n=a[n]A^3＋ｂ[n]A^2＋ｃ[n]A
=a[n](6A^2-10A+4E)＋ｂ[n]A^2＋ｃ[n]A
=(6a[n]+b[n])A^2+(-10a[n]+c[n])A+4a[n]E

係数を比較して、

a[n+1]=....6a[n]+1b[n]+0c[n]...┌6.....1.....0┐┌a[n]┐
b[n+1]=-10a[n]+0b[n]+1c[n]=..|-10...0.....1.|..|..b[n].|
c[n+1]=....4a[n]+0b[n]+0c[n]...└4.....0.....0┘└c[n]┘