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数学★積分★
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f(a)=∫[0→1]|x^2-a^2|dxとする。
a≧1のとき、f(a)を求めよ。
また、0<a≦1のとき、f(a)=1/3となるaの値を求めよ。
答え
a≧1のとき、f(a)=a^2-1/3,a=3/4
0<a≦1のとき、f(a)=∫[0→1](-x^2+a^2)dx+∫[a→1](x^2-a^2)dx=4a^3/3-a^2+1/3
解説お願いします(>_<)
- 補足
- すいません(^_^;)
答えが
0<a≦1のとき、f(a)=∫[0→1](-x^2+a^2)dx+∫[a→1](x^2-a^2)dx=4a^3/3-a^2+1/3
じゃなくて
0<a≦1のとき、f(a)=∫[0→a](-x^2+a^2)dx+∫[a→1](x^2-a^2)dx=4a^3/3-a^2+1/3
でした！！
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- 質問日時：
- 2010/7/16 22:13:05
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- 解決日時：
- 2010/7/18 20:57:56
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- 1
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ベストアンサーに選ばれた回答
0<a≦1のとき、f(a)=∫[0→1](-x^2+a^2)dxの部分
もしかして
0<a≦1のとき、f(a)=∫[0→a](-x^2+a^2)dxではないでしょうか
a≧1のとき
x^2-a^2 ≦ 0
f(a)=∫[0→1]|x^2-a^2|dx =∫[0→1](-x^2+a^2)dx
= [-x^3/3 + xa^2][0→1]
= a^2-1/3
0<a≦1のとき
0 ≦ x ≦ a の場合
x^2-a^2 ≦ 0なので
f(a)=∫[0→a](-x^2+a^2)dx
= [-x^3/3 + xa^2][0→a]
= -a^3/3 + a^3
= 2a^3/3
a ≦ x ≦ 1 の場合
0 ≦ x^2-a^2 なので
f(a) = ∫[a→1](x^2-a^2)dx
= [x^3/3 - xa^2][a→1]
= 1/3 - a^2 - (a^3/3 - a^3)
= 2a^3 - a^2 + 1/3
0≦x ≦ a の場合と a ≦ x ≦ 1 の場合
で求めたf(a)の和が0<a≦1のときのf(a)であるから
f(a)=∫[0→a](-x^2+a^2)dx+∫[a→1](x^2-a^2)dx=4a^3/3-a^2+1/3
f(a) = 1/3であれば
4a^3/3 - a^2+1/3 = 1/3
方程式4a^3/3 - a^2 = 0の解は
a=0,3/4
aの範囲は0<a≦1であるためa=0は求めるべき解ではない
よってa=3/4
こんな感じでしょうか
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- 回答日時：2010/7/17 00:13:42
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質問した人からのコメント
あと…
a ≦ x ≦ 1 の場合のところの答えが
2a^3/3 - a^2 + 1/3だと思います！