問題の解説をお願いします

you1andai3さん

本題の証明に入る前に、★1と★2が成り立つことを示す。

★1 nが自然数で、自然数a[1],...,a[n]の最大公約数をdとすると、適当な整数s[1],...,s[n]を用いてs[1]a[1]＋...＋s[n]a[n]＝dとできる。
（★1の証明）
集合A＝{s[1]a[1]＋...＋s[n]a[n]}｜s[1],...,s[n]は整数}とおき、その要素で正の整数のうち最小なものをPとし、
P＝p[1]a[1]＋...＋p[n]a[n]（p[1],...p[n]は整数）とする。

Aの任意の要素S＝s[1]a[1]＋...＋s[n]a[n]（s[1],...,s[n]は整数）について
SをPで割った商をQ、余りをRとすると
S＝QP＋R （0≦R＜P）となる。
すると
R＝SーQP＝(s[1]ーQp[1])a[1]＋...＋(s[n]ーQp[n])a[n]と表されるから、
RはAの要素である。
PはAの要素で正の整数のうち最小で、0≦R＜Pだから
R＝0である。
よって、Aの要素はすべてPの倍数である。
したがって、a[1],...,a[n]はAの要素だから、a[1],...,a[n]もPの倍数となり、それらの最大公約数であるdもPの倍数となる。

一方、a[1],...,a[n]はdの倍数だから、P＝p[1]a[1]＋...＋p[n]a[n]もdの倍数となる。

以上から
P＝d
（★1の証明終わり）

★2 a,a'がbと互いに素ならば、aa'はbと互いに素である
（★2の証明）
aとbが互いに素だから★1により
pa＋qb＝1 （p,qは整数）とできる。
同様にa'とbが互いに素だから★1により
p'a'＋q'b＝1（p',q'は整数）とできる。
よって、
1＝(pa＋qb)(p'a'＋q'b)＝(pp')aa'＋(p'q＋pq'＋qq'b)b
したがって、
aとbは互いに素である。
（★2の証明終わり）

【1_1】
（【1_1】の証明）
a,a',a'',...は各々b,b',b'',...と互いに素とする。

a,a',a'',...は各々bと互いに素だから、★2により
aa'a''...はbと互いに素である。
同様にして、
aa'a''...はb'と互いに素、aa'a''...はb''と互いに素,...が成り立つ。
すなわち、
aa'a'',,,は各々b,b',b'',...と互いに素である。
よって、★2により
aa'a''...はbb'b''...と互いに素である。
（【1_1】の証明終わり）
（注）厳密には、a,a',a'',...をa[1],a[2],...,a[m]と表し、b,b',b'',...をb[1],b[2],...,b[n]と表して、m,nについて数学的帰納法を用いて証明します。
※a,a',a'',...を、その個数や何番目の数かを分かりやすく表すためなどに、添字を用いてa[1],a[2],...,a[m]などと表します。

【1_2】
a＝a'＝a''＝...、b＝b'＝b''＝...として【1_1】を適用することで、示されます。

【2】
（証明）
a[1],...,a[m]の最大公約数をd、b[1],...,b[n]の最大公約数をd'、a[1]b[1],a[1]b[2],...,a[m]b[n]の最大公約数をDとする。
すると、★1により
d＝s[1]a[1]＋s[2]a[2]＋...＋s[m]a[m] （s[1],s[2],...,s[m]は整数）とでき、
d'＝s'[1]b[1]＋s'[2]b[2]＋...＋s'[n]b[n] （s'[1],s'[2],...,s'[n]は整数）とできる。
したがって
dd'＝(s[1]a[1]＋s[2]a[2]＋...＋s[m]a[m])(s'[1]b[1]＋s'[2]b[2]...＋s'[n]b[n])
＝(s[1]s'[1])a[1]b[1]＋(s[1]s'[2])a[1]b[2]＋...＋(s[m]s'[n])a[m]b[n]
となり、
Dはdd'の約数である。
一方、
dはa[i]（i＝1,2,...,m）の約数で、d'はb[j]（j＝1,2,...,n）の約数だから
dd'はa[i]b[j]（i＝1,2,...,m、j＝1,2,...,n）の約数である。
よって、dd'はDの約数である。

以上より
dd'＝D
（証明終わり）
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sorejaabyebye3さんの質問についての追記

「a,a',a'',...」は、問題文にあるものと同じもので、ただ単にいくつか（1個以上）の数などを表わすものです。少し前の数学の書物などでは、同じ意味で「a,b,c,...,z」などの表現されたりもしています。
厳密に表現する場合は、「a,a',a'',...」よりも「a[1],...,a[n]」（パソコンでの表現は異なりますが「a1,...,an」と同じ意味です）を用いるほうが一般的です。このほうが個数をn個と表現できるとともに、最後の数などはa[n]と表現できます。nについての数学的帰納法を用いる場合などの場合は、「a,a',a'',...」では表現が困難になります。