射影幾何学ってなんですか？

feynman2007さん

簡単に言うと、「射影の性質を調べる学問」となります。

ユークリッド幾何学では、平行線は交わらないことになっています。しかし、目に見える事実は「平行線は遠くのかなたで交わる」ことを示しています。高層建築やまっすぐに伸びる道などを写生するときには、平行線が遠くのほうで交わるように描くとそれらしく見えますし、写真で撮影してもそのように写ります。

このことは、レオナルド・ダ・ビンチの透視図法（遠近法）でも明らかにされている事実です。「目に見える事実」の通りに画面上にあわらすためには工夫が必要でした。

空間図形Fを平面上に描くとき、目とFとの間に透明板を置いて、目とF上の各点とを結んだ直線と透明版との交点がつくる図形F'を「Fの射影」と呼びます。この射影の性質を調べる幾何学が「射影幾何学」なんです。

フランスのジラール・デザルグも無限遠点の考え方を導入することを思いつきました。デザルグは、射影の考え方を用いて「直線は中心が無限遠点にある円」であるとし、また「平行線は無限遠点で交わる」と考えました。そして、これらをもとにしてこれまでの幾何学を統一する、射影幾何学創立の基礎を作ったんですね。

彼の多くの研究の中に、「デザルグの定理」と呼ばれる有名な定理があります。この定理は、射影幾何学の中心的な役割を果たすもので、その内容は「二つの三角形で、対応する頂点を結ぶ３本の直線は１点で交わる。このとき、対応する辺（の延長）それぞれの３つの交点は一直線上に並ぶ。また、その逆も成り立つ」というものなんです。

今、光源Oと、平面πの間に△ABCがあるとします。平面πに映る△ABCの影を△A'B'C'とすると、AB（の延長）とA'B'の交点、BCとB'C'の交点、CAとC'A'の交点は△ABCを含む平面πoと、平面πとの交線上にあります（πoとπが平行のときは、交線は「無限遠直線」と考えます）。

このデザルグのすばらしい着想も、当時はまだ人々の注目を引きませんでした。そうした中で、この射影の考えを発展させたのはフランスのブレーズ・パスカルでした。

16歳のときに、パスカルが一枚の紙に書いた「円錐曲線試論」の中に、有名な「パスカルの定理」が含まれています。それは、「六角形が円錐曲線に内接するならば、向かい合う3対の辺の交点が一直線上にある。また逆もなりたつ」というものでした。

この定理は円錐曲線の性質の原点となるもので、デザルグの考えを受け継いだものだったんですね。

円錐曲線は、円錐を平面できるときにできる、切り口の図形です。つまり、一つの光源からでる光の前に円を置いたときの影として円錐曲線をみることができます。

ここで、無限遠点を導入すると、放物線は無限遠点で交わり、双曲線はその漸近線と無限遠点で交わることになり、すべて楕円のような閉じた曲線になることがわかります。

そのように考えると、パスカルが考えている性質は、楕円、放物線、双曲線などのように分けて考える必要はなく、一つの曲線として考えることができます。

そこで、パスカルは射影の考えを使って「私が取り上げている性質は、その原像である円の上に戻して考えてやればよい」としたんですね。こうすれば、パスカルの定理は円に内接する六角形の場合について証明すれば、円錐曲線内に内接する六角形のすべてについて成り立つことが導かれるんです。

このように、円の性質を調べることによって、円錐曲線の性質を予測することもできますし、円錐曲線のある性質を導くこともできます。

こうして、デザルグやパスカルによって確立された射影の考え方は、やがて画法幾何学のモンジュをへて、フランスの工兵下士官だったジーン・ポンスレによって、射影幾何学として完成されたんです。

ポンスレは、1822年「図形の射影的性質について」を発表しました。この中でポンスレは、射影幾何学とは「射影によって変わらない図形の性質を研究する幾何学である」と定義しました。

19世紀には、幾何学とは「空間における一つの変換、すなわち点を他の点に対応させる規則によって変化しない図形の性質を研究すること｣と定義され、｢射影変換はすべての古典的幾何学に統一的な視点を与えるもの｣と考えられるようになりました。

その理由は、例えばユークリッド幾何学では合同変換で変わらない図形の性質を調べますが、合同変換は射影変換の特殊な場合なんです。ですから、射影幾何学の定理はユークリッド幾何学でも成り立ちます。しかし、｢合同変換では変わらないが、射影変換ではかわってしまう性質｣はユークリッド幾何学でしか調べられません。

それだけ射影幾何学のほうが、より深い性質を統一的、一般的に扱っているんですね。