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物理の問題です。無限に長い直線上に単位長さ当たりλの電荷線密度で一様に分布して...

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質問者

pirozhki247さん

2011/11/2514:38:25

物理の問題です。無限に長い直線上に単位長さ当たりλの電荷線密度で一様に分布している。直線距離からrだけ離れた点における電場の大きさEをガウスの法則を用いず、クーロンの法則から求めよ。

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tfazl_pnsubさん

2011/11/2517:10:09

無限に長い直線をLと呼ぶことにする。
直線Lからrだけ離れた点をPとする。
点Pから直線Lにおろした垂線の足を点Oとする。
点Oを原点とし直線Lに沿ってz軸をとる。
座標zの点をAとし、zと(z+dz)の間に含まれる
微小電荷λdzが点Pに作る電場をdEとする。
点Pにできる合成電場の直線Lに平行な成分は
z軸の正の部分によるものと負の部分によるものが
打ち消して0になるので、直線Lに垂直な成分dE・cosθ
(∠APO=θ)のみ積分すればよい。

AP=yとする。AO=z、OP=r、∠AOP=θである。

クーロンの法則からdE={1/(4πε₀)}{(λdz)/y²}

E=∫[L全体]dE・cosθ
=∫[-∞→+∞]{1/(4πε₀)}{(λdz)/y²}・cosθ
=2・{λ/(4πε₀)}∫[0→+∞](dz/y²)・cosθ・・・・・・①

ここで
cosθ=r/yすなわちy=r/cosθ
z=r・tanθ
dz/dθ=r/cos²θすなわちdz=(rdθ)/cos²θだから①は

E={λ/(2πε₀)}∫[0→(π/2)]{(rdθ)/cos²θ}{cos²θ/r²}・cosθ
={λ/(2πε₀r)}[0→(π/2)]cosθ・dθ
={λ/(2πε₀r)}[sinθ][0→(π/2)]
=λ/(2πε₀r)・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(答)

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