任意の複素数z,wに対して指数法則(a^z)*(a^w)=a^(z+w)が常に成り立つような複素数a...

syetaniさん

(a^z)*(a^w)=a^(z+w)
は複素数全体で成り立ちます。
ただし
(a^z)^w=a^(zw)=(a^w)^z
は正の実数でしか成り立ちません。

定義に振り返ると、aが複素数の場合a^zは
a^z=e^(log(a)z)
でした。
ここでlog(a)は
e^(x+iy)=(e^x)(cosy+isiny)=a
を満たすx+iyですが、
xはx=log|a|と一意に決まるとしてyは2πi分の自由度があります。
すなわちlog(a)はyの範囲を決めない限りは一価関数ではなく、
またyの範囲を決めたとしても、通常の対数法則が成り立ちません。

(a^z)*(a^w)
の計算においてはlog(a)の値がなんであれ
a^z*a^w=e^(log(a)z)*e^(log(a)w)=e^(log(a)(z+w))=a^(z+w)
とできるので問題ないのですが、
(a^z)^w=(e^log(a)z)^w=e^(log(e^(log(a)z))w)
において、log(e^(log(a)z))=log(a)zである保証が無いので右辺=a^(zw)とはできません。