解決済みの質問

中心力を受ける物体の軌道の計算について

final_miracle_2009さん

中心力を受ける物体の軌道の計算について

写真添付したので見てください。

写真小さいですが、画面拡大してくれると見れると思います。

②の写真が、問題文になります。

エネルギー保存則より、物体の軌道を計算するということなのですが、
エネルギー保存則というのは、

(1/2)mv^2+mgh=E=一定という式で表されますよね。

しかし、この問題文には、(1/2)mv^2+U(v)=Eと書かれています。

Uはポテンシャルを表すのは分かりますが、なぜUの独立変数がvつまり、速さになっているのでしょうか？
距離rではないのですか？

それと、③の写真が解説になるのですが、

このエネルギー保存の式に、vの式を代入すると、

(1/2)mv^2(r'^2+h^2/r^2)+U(r)=E (r'は、rのtによる1階微分です）

となるのは、わかりました。

しかし、その次の行で、

tで微分すると、

{dU(r)/dr}*r'=-mfr'

どのように計算してこうなったのかが分かりません。

1時間ほど考えてみたのですが、まったく思いつかず質問させていただきました

回答よろしくお願いします。

補足: チェーンルールは分かるのですが、(1/2)mv^2(r'^2+h^2/r^2)の微分が分かりません。
例えば、r'^2のさらに微分ってどうすればいいんですか？
また、(dU(r)/dr)(dr/dt)って、計算すると、-f(dr/dt)になるのではないですか？
なぜ質量のmがついているのでしょうか？

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質問日時：

2012/2/13 19:41:49
解決日時：

2012/2/28 04:14:55
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ベストアンサーに選ばれた回答

yokkun831さん

後の質問から

dU(r)/dt = dU(r)/dr・dr/dt = -mfr'

合成関数の微分，いわゆるチェーンルールですよね？

次いで先の質問

>なぜUの独立変数がvつまり、速さになっているのでしょうか？

後の展開からわかるように，U(r)の時間微分を結果的にr'を用いて記述できました。そして，極座標による速さの表現と方位角方向の運動方程式（角運動量保存）によって，最終的に速さを消去したわけです。このような展開（速さvを消去する）をはっきりさせるために，U(v)とあえて表記したのだろうと思います。もちろん，U(r)はrの関数ですが，軌道が一意に定まることを前提とするのであれば，速度を通じてrの関数…という具合に考えることもできます。問題の記述に他意はなく，単にヒントであると考えてよいでしょう。

※補足について

{dU(r)/dr}*r'=-mfr'
これは，単に単位質量当たりの力 f の定義を書いただけです。

これをエネルギー保存の時間微分
1/2・m d/dt ( r'^2 + h^2/r^2 ) + dU/dr・r' = 0
に代入すると，
1/2・m d/dt (r'^2 + h^2/r^2 ) - mfr' = 0
1/2・(2r' r'' - 2h^2/r^3・r' ) - fr' = 0
一般にr' ≠0より，
r'' - h^2/r^3 = f
となります。