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オイラーの公式というのがわかりません! わかりやすい説明をお願いします!!!

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質問者

dtyitsswさん

2006/8/2221:18:49

オイラーの公式というのがわかりません!

わかりやすい説明をお願いします!!!

閲覧数:
2,608
回答数:
2

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ベストアンサーに選ばれた回答

puit578さん

2006/8/2222:02:54

オイラーの公式とは
e^(iθ)=cosθ+i*sinθ
と書かれる等式です(ただし、iは虚数単位)。

特にθ=πを代入して得られる等式
e^(iπ)+1=0
はオイラーの等式と呼ばれるそうです。

詳しくは以下のサイトをご覧ください。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E...

質問した人からのコメント

2006/8/25 23:01:55

降参 ありがとうございます!!!

ちょい足しを取り消しますが
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1〜1件/1件中

move_gifさん

編集あり2006/8/2222:10:00

e^(iθ)=cosθ+isinθ

というもの 但し、iは虚数単位(i^2=-1),eは自然対数の底(ネイピア数:e≒2.718281828・・・)





【証明i】
e^z,cosz,sinzをマクローリン展開して
e^z=∑x^k/k!
cosz=∑(-1)^k・x^(2k)/(2k)!
sinz=∑(-1)^k・x^(2k+1)/(2k+1)!
e^z のマクローリン展開式に z=iθ(i:虚数単位)を代入して虚部・実部を整理すれば、
e^(iθ)={∑(-1)^n・x^(2n)/(2n)!}+i{∑(-1)^m・x^(2m+1)/(2m+1)!}
実部はcoszの、そして、虚部はsinzの展開式なので
e^(iθ)=cosθ+isinθ........................................//

【証明ii】
f(θ)=cosθ+isinθ と置く
f'(θ)=-sinθ+icosθ
........=i・f(θ)
ここで、初期値f(0)=1の微分方程式 f'(θ)=i・f(θ) を解けば、
f'(θ)=i・f(θ)
f'(θ)/f(θ)=i
両辺を積分して
log|f(θ)|=iθ+C
f(θ)=±e^(iθ+C)
f(θ)=±A・e^iθ......(e^C=A と置く)
f(0)=1 より
±A=1
従って、f(θ)=e^iθ
∴f(θ)=cosθ+isinθ=e^(iθ)
e^(iθ)=cosθ+isinθ........................................//



オイラーの等式:e^(iπ)+1=0

虚数乗法:
A>0 に於いて
A^i=(e^logA)^i=e^(i・logA) より
A^i=cos(logA)+isin(logA)

i^i:i^i=e^(-π/2)...............(e^(-π/2):実数)

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