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立体角の具体的な計算 【ステラジアン?】

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質問者

yuusan0921さん

2013/4/1217:32:02

立体角の具体的な計算 【ステラジアン?】

サイン2乗を立体角全方向で積分すると、答えが3分の8πになるのですが、その立体角の計算プロセスがわかりません。
その計算プロセスを教えてください。

∫sin^2θdΩ=8π/3

ちなみにこの計算は、とある場の量子論の教科書に載ってました。

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jjsibataさん

2013/4/1301:06:45

私の計算では 4π/3になりましたが、参考までにご紹介します。

立体角の計算では、半径=1の球面に関数値を与えて、「球の微小面積×関数値」を加え合わせる(積分する)のだと思います。立体角は半径=1の球の面積で表現。全立体角の合計は4πr^2。
このケースでは、θは地球の緯度に相当していると解釈しました。

球の半径=rとして、微小面積は 2πr・cosθ・rdθ
微小面積の長さ(緯線の長さに相当)が2π(r・cosθ)、その幅が rdθ。

r=1 とし、関数値を掛けて積分すれば
∫2π(sinθ)^2・cosθdθ -π/2 からπ/2 まで
=4π∫ (sinθ)^2・cosθdθ 0 からπ/2 まで
=4π[(1/3)(sinθ)^3](0 からπ/2 まで)
=4π/3

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aerile_reさん

2013/4/1217:46:20

http://homepage3.nifty.com/rikei-index01/biseki/kougizettai.html
θとはここにある図に示される角と推測しました。(そうすると答えが合う)

球面上での積分はリンク先にある式からrを省いて∬f(θ,φ)sinθdθdφとすれば良いです。
[θについては0からπまで、φについては0から2πまでの積分]
f(θ,φ)=1 とすると単純に球面の表面積4πになります。

今回の場合f(θ,φ)=(sinθ)^2を適用すれば良いです。
計算を実行すると
(sinθ)^3 の0からπまでが4/3
φについて0から2πまでの積分=2π
となるので8π/3を得ました

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