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2変数のテーラー展開(テイラー展開)で f(x,y)のx=1,y=0におけるテーラー展開を3...

takku0628さん

2変数のテーラー展開(テイラー展開)で

f(x,y)のx=1,y=0におけるテーラー展開を3次の項まで求めよ。
f(x,y)=√x~2-y~2 ←2乗です
という問題が大学の講義中分かりませんでした。


初めての書き込みですがお願いします。

2変数のテーラー展開(テイラー展開)で

f(x,y)のx=1,y=0におけるテーラー展開を3次の項まで求めよ。
f(x,y)=√x~2-y~2 ←2乗です
という問題が大学の講義中分かりませんでした。



途中式も良く分からない状態です・・。よろしくお願い致します。

  • 質問日時:
    2007/7/30 07:15:13
  • 解決日時:
    2007/7/31 22:46:57
  • 閲覧数:
    4,103
    回答数:
    2
  • お礼:
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ベストアンサーに選ばれた回答

emishigakkaiさん

 与関数を F(x,y) = √(x^2 – y^2) = (x^2 – y^2)^(1/2) とする。
2変数 x, y のテーラー展開は、次式
 (1/k!) ( ∂/∂x + ∂/∂y )^k・F(x,y) の形の
演算を、k= 0,1,2,3 …… と計算して、加えれば良い。

 即ち、3次項までのテーラー展開は

 F(x+h,y+k)=F(x,y) + (1/1!)(h・Fx(x,y)+k・Fy(x,y))
+(1/2!)(h^2・Fxx(x,y)+2h・k・Fxy(x,y)+k^2・Fyy(x,y))
+(1/3!)(h^3・Fxxx(x,y)+3h^2・k・Fxxy(x,y)+3h・k^2・Fxyy(x,y)
+ k^3・Fyyy(x,y))

さて、今の問題では、k = 0 では F(x,y) = F(1,0) = 1 。
k = 1 では ∂F/∂x = Fx = (1/2)・(x^2 – y^2)^(-1/2)・(2x)
 = x・(x^2 – y^2)^(-1/2)。
∂F/∂y = Fy = (1/2)・(x^2 – y^2)^(-1/2)・(- 2y)
 = - y・(x^2 – y^2)^(-1/2) 。
 数値的には Fx(1,0) = 1、であり、 Fy(1,0) = 0 。

k = 2 では
∂^2F/∂x^2 = Fxx = (x^2 – y^2)^(-1/2)
 + x(- 1/2)・(x^2 – y^2)^(- 3/2)・(2x)
= (x^2 – y^2)^(- 3/2)・(x^2 – y^2 –x^2)
= - y^2・(x^2 – y^2)^(- 3/2)、
与問題では、数値的には Fxx(1,0) = 0 である。
同様に、
∂^2F/∂y^2 = Fyy = - x^2・(x^2 – y^2)^(-3/2) 。
 数値的には Fyy(1,0) = -1 である。
 同様に、
 ∂^2F/∂x∂y = Fxy= x・y・(x^2 – y^2)^(-3/2)、 
 数値的には Fxy(1,0) = 0 である。

k = 3 では、同様に
∂^3F/∂x^3 = Fxxx = 3x・y^2・(x^2 – y^2)^(-5/2)、
与問題では、数値的には Fxxx(1,0) = 0 である。
同様に、
∂^3F/∂y^3 = Fyyy =-3x^2・y・(x^2 – y^2)^(-5/2)、
数値的には Fyyy(1,0) = 0 である。
同様に、
∂^3F/∂x^2∂y = Fxxy =-y・(2x^2+y^2)・(x^2 – y^2)^(-5/2)、
数値的には Fxxy(1,0) = 0 である。
同様に、
∂^3F/∂y^2∂x = Fyyx =x・(x^2+2y^2)・(x^2 – y^2)^(-5/2)、
数値的には Fyyx(1,0) = 1 である。

3次項までのテーラー展開式に数値を代入すればは

 F(1+h,0+k)= 1 + (1/1!)(h・1+k・0)
+(1/2!)(h^2・0+2h・k・0+k^2・(-1))
+(1/3!)(h^3・0+3h^2・k・0+3h・k^2・1 + k^3・0)
 即ち
 = 1 + h - (k^2)/2 + (h・k^2)/2
 
 とテーラー展開される。 

 (つまらぬ計算ミスの無い事を祈る。 チェックしてね!)

質問した人からのお礼

  • 抱きしめる有難うございました^^本当に助かりました(>_<;)
    今後も困ったことがありましたらお力を貸してください!
  • コメント日時:2007/7/31 22:46:57

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velazquez_bottichelliさん

Σ(n=0~3)(1/n!)(x∂/∂x+y∂/∂y)^nf(x=1,y=0)を計算すればよい。

f(x,y)=(x^2-y^2)^(1/2)
f(1,0)=1
(∂/∂x)f(x,y)=x(x^2-y^2)^(-1/2)、(∂/∂x)f(x=1,y=0)=1

(∂/∂y)f(x,y)=-y(x^2-y^2)^(-1/2),(∂/∂y)f(x=1,y=0)=0

(∂^2/∂x^2)f(x,y)=-x^2(x^2-y^2)^(-3/2),(∂^2/∂x^2)f(x=1,y=0)=-1
以下3次まで計算すればよい。

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