一昨年祖父が亡くなり、日本刀を形見受けしました。 ご先祖様は徳川家の譜代大名で...

megttanさん

まず刀ですと銃刀法の規制にある刃渡りになってしまい、そのままでは銃刀法違反になってしまいます。日本刀など『美術品』として登録することで、この銃刀法の規制を免れることが出来ます（同法違反でないだけで持ち運びなどには当然制約はあります）。
お住まいの都道府県にもよりますが、警察署で登録および鑑定（具体的な値段が出るものではないとお考え下さい）の日が1年のうちに何度か（県によっては年1回の所もあります）行われていますので、まずはそこで登録なさることが第一です。でないと銃刀法違反になってしまいます。
既に登録されている場合、登録されているとすれば都道府県毎ですから、問い合わせ先は都道府県警で大丈夫です。問い合わせだけならその登録日でなくても大丈夫でしょう。
日本刀の場合は猟銃などと違い、刀そのものにつく許可証ですから、名義人（と所在地）の変更だけになると思います。相続ということでしたら手続きもすんなりと通ると思います。

柄や鞘ですが、これらの部分は昔から傷んだら取り替える部位ではあります。しかし修理に出したことで、当時の細工が破損してしまう恐れもあります。まずはそのまま、博物館（刀剣専門の学芸員がいる所）に相談されるといいと思います。元々納められていた材質が何かは存じませんが、刀は白木の鞘に入れるのが保存用としては最適です。もし金銭的な余裕があるようでしたら鞘と柄は白木のものを誂えられ、鞘と柄はつなぎ（竹光）を入れられて保存するのが最も適した保存方法ですが、これはどこで保存なさるかを決められてからでもいいと思います。

博物館へ預ける方法は2種類あります。どちらにしても正式に契約書を交わすことになります。
1つめはお書きの通り『寄贈』で、所有権ごと渡してしまうものです。ですから後になって『返して欲しい』と言うことは出来ませんし、もしその博物館が閉館した場合、どこか別の博物館に譲り渡されてしまう可能性もあります。
2つめは「寄託」というものがあります。これは所有権を持ったまま、保存と管理を博物館に委託するものです。寄託料を請求される場合もなきにしもあらずですが、どこまで博物館に任せるかによって変わってくると思います。たとえば預けた先の博物館で展示される分には自由に展示して貰って構わない、とか、修理（現状の改変にあたります）もしてもらって構わない、とか、他の博物館から貸し出し依頼があった場合も連絡なく貸し出して構わない…などの条項が考えられます。この場合は持ち主は自分のままですから、『返して欲しい』と言うことが出来ますし、博物館が閉館した場合も手元に帰ってきます。

また、預ける先の博物館も近い方がいいという訳ではなく、そういった刀剣類をある程度持っている博物館に預けた方が安心です。やはり専門の学芸員がいるといないとでは保存状態や展示方法にも差が出てきてしまいますので。
博物館に預けるメリットとしては、盗難の心配が激減すること、学術的な価値を得られること、刀剣にとって良い環境（低湿気・低温）で保存されることなどが挙げられます。劣化した外装部分であれば、それ以上劣化しないような処理をしてもらうことも可能かもしれません（寄託では難しいかもしれませんが）。

博物館に相談する場合、実物を持って行くのは大変危険です（銃刀法の規制対象物ですから）。写真を撮られる場合のポイントは刀身の場合、全体の写真の他に必要なのは次のような部分です。柄に隠れる部分に目釘穴（刃を安定させるための目釘を打つ穴）がありますよね？ その近くに銘が刻まれている場合が多くあります。まずはその銘を出来るだけアップで、精密に見えるように撮って下さい。それから目釘穴が複数ある場合（しかも端の方に）もありますから、目釘穴の位置が解るような写真もあるといいです。他には刃の鍛え方の状態を見る為に刃の部分と、切っ先の角度が解るような写真があればとりあえずは十分です。
柄の場合は使われている皮（鮫やエイなどが使われています）が解るような写真が理想的です。目釘穴を隠す飾りがあればそれも昔の人が趣を凝らした部分ですから見てみて下さい。鞘の場合は蒔絵や螺鈿が施されたりしている場合はそれぞれの細工（全部でなくても構いません）を撮影されればいいでしょう。あと、鞘の一番端の部分に金具がついている場合、そこにも飾り金具が使われているかもしれませんのでチェックしてみてください。また、鍔が残っている場合は裏表とも撮影されるといいでしょう。