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確率密度関数の意味するものがどういうものなのかがよく分かりません。 簡単に言...

kiroro_205さん

2010/2/623:45:29

確率密度関数の意味するものがどういうものなのかがよく分かりません。
簡単に言えばどんな感じなのでしょうか?

それに関連して問題なのですが
10分おきに電車が発車する駅にランダムに自分が行くときの待ち時間をX(分)とするとき
Xの確率分布表と確率密度関数を求めよ。

という問題なのですが、
確率分布表のXの範囲は0から10でよいのでしょうか?それとも、0から9で10分待つと言うことは考えないのでしょうか?
確率密度関数に関してはさっぱりです。

補足詳しい説明ありがとうございます。
今回の問題は、X(分)を「待ち時間」としてではなく「時間」として考え、
「10分以上待つ場合の確率も考える(待ち時間が∞分まである)」とイメージして解けばよいのでしょうか?
そう考えると連続型であることが理解出来ます。

自分なりに解いたのですが、それぞれ確率はf(x)=1/10となりました。
解答を見ると
f(x)=1/10 (0<x<10)
=0(x<0,x>10)
なのですがx=0,10の時は考えなくてよいのでしょうか?

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spawapawaさん

編集あり2010/2/702:29:00

Xが離散値をとるとき,P(X=x)=p(x)としたものを「確率関数(p.f.)」といい,
Xが連続値をとるとき,分布関数F(X)があって,F(X)=∫_{-∞}^{x} f(t) dtとしたものを「確率密度関数(p.d.f.)」といいます。

離散値の例です。
〔例1〕赤玉3個と白玉4個の入った袋から同時に2つの玉を取り出す。
このとき,取り出した白玉の個数をX個とするとXは0,1,2の3つの離散値をとることになります。つまり,取り出した白玉の個数をX個とすると,Xは離散型の確率変数となります。さて,白玉の個数がn個である確率をP(X=n)とすれば,P(X=0)=1/7,P(X=1)=4/7,P(X=2)=2/7と分かります。つまり,p(0)=1/7,p(1)=4/7,p(2)=2/7となります。

当たり前ですが,
Σ_{n=0}^{∞} P(X=n) = Σ_{n=0}^{2} P(X=n) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) = p(0)+p(1)+p(2) = 1
です。

次に連続値の例です。
〔例2〕t分後に電話の鳴る確率がf(t)で与えられる電話がある。∫_{-∞}^{x} f(t) dt=∫_{0}^{x} f(t) dtとなります。このf(t)が確率密度関数です。さきほどのp(x)に対応していますが,あちらは離散量x=0,1,2をとるのに対し,こちらはt>0のいかなる値もとります。(〔例2〕では時間が負となることを考えないことにしたのでt>0としましたが,一般にtは-∞<t<∞となります。)

ところで,上の〔例1〕のように確率を全部足すと1という式はどうすればいいのでしょうか。離散値ではなく連続値なのでΣは使えません。連続値にとってのΣは∫です。よって,
∫_{-∞}^{∞} f(t) dt = 1
が成り立ちます。〔例2〕では
∫_{-∞}^{∞} f(t) dt = ∫_{0}^{∞} f(t) dt = 1
ですね。

時間は連続値ですから確率密度関数となるのです。

最後に分布関数について,確率変数Xがあって,
F(x) = P(X≦x)
となるF(x)を分布関数と言います。上の式では意味が分かりずらいですが,Xがx以下の値をとる確率なので,
もし,Xが離散値をとれば,
F(x) = P(X≦x) = Σ_{n=0}^{x} P(X=n) = Σ_{n=0}^{x} p(n)
です。Xが連続値なら,
F(x) = P(X≦x) = ∫_{-∞}^{x} P(X=t) dt = ∫_{-∞}^{x} f(t) dt
です。(ちなみにF(X)は右連続であることが知られています。)

ここまで理解したら,もう一度問題に挑戦してみましょう。

<追記>
解けましたか!良かったです。
はい,確かにf(x)=1/10 (0<x<10),f(x)=0 (else)です。

念のため,確率変数X,Xについての分布関数F(x)として,
F(x)=P(0≦X≦x)
= ∫_{0}^{x} f(t) dt
F(x)はF(x)=1/10 x (0<x<10),F(x)=0 (else)となる(グラフを描けばわかる)。
∫_{0}^{x} f(t) dt = 1/10 x (0<x<10) ,∫_{0}^{x} f(t) dt = 0 (else)
両辺xで微分して,
f(x) = 1/10 (0<x<10) ,f(x) = 0 (else)

>「10分以上待つ場合の確率も考える(待ち時間が∞分まである)」とイメージして解けばよいのでしょうか?
>そう考えると連続型であることが理解出来ます。
いえ,例えば3分27秒待つとか6分8秒71待つとかを考えているのです。待ち時間が0分から10分の間には正である確率があるとイメージできますが,それ以外では絶対に0ですよね。
分布関数が-∞からxまでの密度関数の積分であることから,例えば分布関数F(2)は2分「まで」待つという確率の和なのです。少し数学的におかしいのですが,F(2)=f(0)+f(0.000001)+f(0.000002)+…+f(1.999999)+f(2)みたいな。例えば,f(1)は1分待つ確率です。その寄せ集めがFなのです。Fは積分つまり面積ですから,fは一本一本の棒と見れます。(区分求積!)そう考えれば,fはいつでも0なのにFは0じゃないのも納得できます.そして,その面積を分けたときの量(つまり区分求積で言う高さにあたる値または微小面積)が「密度」と呼ばれるのも自然ですね。

x=0,10のときについてですが結局いれても確率は0なのです!
少し難しい話になりますが,連続値をとる確率変数XについてP(X=x)を考えれば,P(X=x)=0となります。
あくまで,ある区間(a,b)があって,その間にXが入る確率P(a<X<b)があるのであって,1点にある確率は0になります。(不思議な結果ですが,ルベーグ測度で1点集合を測ると0になることからは自然なのです。詳しくは測度論の知識が必要ですが。。。)
なので,今回のXにおいて,P(X=0)=P(X=10)=0です。(まぁ,作問者は0分待つとか10分待つ(←もう来てるじゃん)とかはおかしいかなと思ったのかもしれませんね。)

質問した人からのコメント

2010/2/7 02:55:50

降参 すごく分かりやすかったです!!知恵コインを差し上げたいくらいです。

離散型・連続型の違いについてもよく分かりました。
サイコロを振る試行で確率変数Xが1,2,3,4,5,6,だから連続型じゃないの?
と思っている自分がいましたがこれですっきりしました。
確かに連続ですが、関数でグラフ化出来ませんもんね。。

本当にありがとうございました。

ちょい足しを取り消しますが
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