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円の面積の扇形近似??

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質問者

the_combat_battlerさん

2010/2/1319:27:23

円の面積の扇形近似??

円の面積を積分で出すやり方で円を微小な扇形に分割した面積ΔS≒1/2rΔlを用いてだすにはどうしたらいいか教えてください。よろしくお願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

yao_maasaさん

2010/2/1320:19:49

半径がr,中心角がθの扇形において
弧長L=2πr×θ/(2π)=rθ
面積S=πr^2×θ/(2π)=(1/2)r^2θ
ゆえに,S=(1/2)rL

-------------------------------------------------------
上の説明で,円周=2πr,面積=πr^2 の両方を使っています。
積分する前に,両方認めちゃっていいのでしょうか?

微積分で扱う三角関数において,sinθ というときのθは弧度法を使っています。
「半径1の円の中心角がα゜の扇形の弧の長さをθ(ラジアン)とする」
と定義します。
すなわち,円周=2πr を定義として,面積=πr^2 を積分して導きます。

実は,これは間違いで
「半径1の円の中心角がα゜の扇形の面積の2倍をθ(ラジアン)とする」
が正しい定義です。
すなわち,面積=πr^2 を定義として,円周=2πr を積分して導きます。

そうでないと,三角形と扇形の面積を比べて導いている
lim{θ→0]{sinθ/θ}=1
が言えません。

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sionomi909さん

2010/2/1320:13:28

円の面積/the_combat_battlerさんの質問番号1136673451への回答

半径r、中心角dθの扇形の面積は 高さr、底辺rdθの三角形であるとみなして (1/2) r^2 dθ
したがって、円の面積は ∫[0→2π] (1/2) r^2 dθ = (1/2)r^2 (2π - 0) = πr^2

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