tscmarine213様、再びご回答頂けましたら幸甚に存じます。

tscmarine213さん

少し厳しい回答になりますが･･･。
あなたがなぜ法律扶助を受けて弁護士へ委任したいと考えているのかが分かりません。
あなたは人身傷害に加入ということですら、保険会社が動いています。
そして、保険会社には顧問弁護士もいます。
その保険会社を無視してあなたが独自に弁護士を委任すれば、保険会社とあなた自身のやっていることがてんでばらばらでかえって解決を困難にしたり、保険で支払えないということも生じます。
あなたの質問を読むと、とにかく訳が分からんから全部丸投げしたい、という感じなのですが、なぜ保険会社に相談せずに法テラスの法律扶助を利用したいのかが疑問です。
まずは、保険会社とよく話し合いをしてみてください。担当者に面談して相談すればいいです。
一番相談すべき保険会社に相談せずに、自分ひとりで悩まないことです。

まず自分自身で何をやりたいのか、何が疑問なのか、何が分からないのか、などをリストアップしてみてください。
そうすれば、だんだん方向性が見えてくるはずです。

以下、個別に
1）刑事処分について
・事故状況が不明です。相手が対向方向から右折なのか、左右の交差道路から右折なのか？
・対向方向から右折だとすると、右折の相手が赤で直進のあなたが青というのはどんな信号？
・なお、信号交差点であれば信号で規制されているわけですから、優先道路というのは関係ありません。
・相手に怪我がないのですから、あなたは自動車運転過失傷害罪にはなりません。ですから人身事故の加害者として処分されることはありません。
もしあなたが道交法違反として処分されたとしても、信号無視の2点と罰金までですから、大きな金額ではありません。
また、信号で揉めているのなら、よほど明らかない証拠でもない限り公判が維持できませんから、処罰なしとなる可能性が高いと思います。（安全運転義務違反で点数が2点加算される可能性はあります。罰金はないでしょう。）
参考
http://rules.rjq.jp/

2）上申書について
何のために出すのですか？
既に相手は自動車運転過失傷害罪の被疑者として警察で聴取を受けているわけです。
あなたも警察で聴取を受け、あなた自身の意見は述べているはずです。
そして、今後検察からの聴取もある予定とのことです。
もし聴取の席で十分なことが言えないのなら、自分の思いを文書にまとめて聴取の時に提出すればいいだけです。
新たな証拠が出てきたなど事情が大きく変わったのなら別ですが、わざわざ上申書を作成して提出する必要はないでしょう。
ただ、双方信号に争いがあり、確実な証拠もないような事案では、相手も不起訴となってしまう可能性も大きいです。
是が非でも相手を信号無視で処罰したいというのなら、確実な証拠をつけて上申書を作成してください。

3）あなたは何を弁護士に依頼したいのでしょうか？
民事の賠償については、あなた自身が人身傷害に加入しているとのことですから、怪我については保険会社が人身傷害で全額支払ってくれます。
相手に請求できるとすれば、人身傷害と弁護士基準の差額の慰謝料程度です。
わざわざこれだけの為に弁護士を独自に雇って裁判をおこしますか？
また、人身傷害で支払った後に保険会社も相手方に求償します。全額が自賠責内で収まれば問題ありませんが、自賠責を超えるときは場合によっては保険会社も弁護士を使って求償します。
もし人身傷害以上の慰謝料を請求したいというのであれば、治療が終わって人身傷害の金額の提示があった段階でどうするかを判断すればいいわけですし、その場合は保険会社の求償に乗っかってしまうという方法もあります。
今慌てる必要はありません。

物損については、あなたが車両保険に加入していれば車両保険から支払われているはずですし、対物だけでも保険会社は相手と過失の交渉をしているはずです。
必要に応じて事故状況の調査等も行います。

ですから、これらの保険会社の動きを無視して、あなたが勝手に動くと、逆ににっちもさっちもいかなくなってくるのです。
まずは保険会社とよく相談してください。


追記
指名質問は好きではないのですが、私を指名だったので回答させていただきました。
あなたの求める回答とは異なったり、内容的に不十分だったり、不満の残る回答だったかもしれません。
ですが、そうであれば不十分な点、不満点、疑問点などを補足で指摘していただければよかったのにと思います。
指名した上に放置というのが悲しいですね。