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数学★行列【32】★

2次の正方行列

Ａ=(a_b)
____(c_d)が

Ａ^5=Oを満たすとする。
ただし、

Ｏ=(0_0)
____(0_0)、

Ｅ=(1_0)
____(0_1)である。

(1)Aの逆行列が存在しないことを示せ。
(2)Ａ^2=(a+d)Aとなることを示せ。
(3)Ａ^2=Oであることを示せ。
(4)Ａ＋Ｅが逆行列をもつことを示せ。

解説お願いします(>_<)

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質問日時：

2010/7/21 18:31:36
解決日時：

2010/7/22 21:22:43
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ベストアンサーに選ばれた回答

gokasaiさん

（１）|A|^5=|A^5|=0 から A は逆行列をもちません。

（２）Hamilton=Cayley の定理から、

A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O

ですが、（１）から ad-bc=0 なので題意を得ます。

（３）（２）の結果から

A^2=(a+d)A
A^3=(a+d)A^2=(a+d)^2A
A^4=(a+d)^3A
A^5=(a+d)^4A

となり、A^5=O によれば (a+d)^4A=0 である事が分かります。
a+d=0 の場合は（２）の結果から A^2=O ですし、
a+d≠0 の場合は A=O ですからこの場合も A^2=O です。

（４）この行列 A の固有方程式は

x^2-(a+d)x+ad-bc=0

ですが、以上の結果からこれは x^2=0 となり、
固有値は 0 のみです。
従って -1 は固有値ではないので A+E は正則です。