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化学近似の正当性

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質問者

property_windさん

2011/9/1023:16:01

化学近似の正当性

高校化学の平衡や気体の問題を解く際に、複雑な
方程式が出てくると、α≪1より1-α≒1のような
近似をし、その後αを求めて「α=0.0010よりα≪1
の近似は妥当であった」のようなことをしますが、
これって数学的に言えば明らかにおかしいですよね?
もちろん平衡の問題は一般にとても複雑な方程式が
出てきて近似なしには到底解くことはできないのは承知
しているのですが、近似をするだけでなく、それを間違った
方法で正当化しようとすることに疑問を感じました。
等式を証明するときに、まず等式が成り立つと仮定して
計算し、結果的に矛盾が生じなかったとしても、証明
したことにはならないのと同じですよね?
どなたか意見を聞かせて下さい。よろしくお願いします。

閲覧数:
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回答数:
3

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ベストアンサーに選ばれた回答

uochocoさん

2011/9/1103:48:12

そりゃおっしゃる通り、方程式を近似的に解いた結果から近似の妥当性を判定するのは一般的には不可能ですね。その近似が大きな誤差を生じていて、真の α は 0.5 なのに 0.0010 と計算されるかもしれない……。

じゃ、そのやり方が妥当な場合はあるかと考えると、例えば反復計算すると解が収束するような方程式がありますな。

初め α = 0 を代入して解くと α = 0.0010 が求まる。
次に α = 0.0010 を 〃 α = 0.0009975 が 〃 。
更に α = 0.0009975 を 〃 α = 0.00099750628 が 〃 。
……

のように反復計算すると解が急速に収束する ( α = 0.5 などに増加しない) ことが判っている方程式ならば、そのやり方で近似誤差をみつもれますね。

まあ、中学・高校の授業では、受験教育のためもあって、決まった問題に決まった解法があり、生徒は暗記するだけという部分がありますな。その中で、誰かが始めた怪しい方法が、疑問をもたれることなく、年々歳々ひたすら踏襲されることがあるだろうとはおもいます。

件の問題が不明なので私は判断できませんが、property_windさんは、疑問をもったのなら、その問題についてそのような判定が果して有効か、必要かを調べてみましょう。

質問した人からのコメント

2011/9/14 15:31:02

ありがとうございました。

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2011/9/1023:57:06

近似は単に計算がめんどくさい上に後々有効数字以下の切り捨てが起こるので、
利用するものと心得ます。
別に等式を証明したのではなく、近似しても結果的にそれを等式に再代入しても、
解の範囲内に収まるので、良しとしたのです。
実際に近似しなくても解けますが、化学に限らず物理でも、実測値をを求めるような学問では
誤差が小さければ無視するという大胆さも必要なのです。
また数学でも、実際に自分で任意の数を代入してみて、後でその必要十分性の一般性を確かめるというような
方法をとることがあります。

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machan3141さん

2011/9/1023:43:16

結果的に無矛盾であれば、その解き方を「間違い」と証明するのは不可能だと思います。その近似の方法を「数学的に間違い」と質問者が断ずるのは「ドグマにとらわれている」状態だと私は思うのですが、どうでしょう? 転じて化学の問題では往々にして直観的に反応の方向をつかんでおいて、その直観を確かめられそうな近似を立てたりします。そのような「近似を思いつく」というのも理数の分野では「必要なセンス」だと思いますし、実際このセンスの有無は死活的な問題だったりしますね。

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