解決済みの質問
数学の問題です。解き方がわからないので質問します。 ①x₁=1、x₂=4、xn=2xn₋₁-xn₋...
数学の問題です。解き方がわからないので質問します。
①x₁=1、x₂=4、xn=2xn₋₁-xn₋₂+2(ｎ≧3)により定める。
xnの一般形を予想し、それが正しいことを証明せよ。
②2ⁿ>n(ｎ=0,1,2,…)を証明せよ。
どちらも数学的帰納法で解けるようです。
どうしても解けないので回答をしていただけたら幸いです。
一方だけでもいいのでお願いします。
- 補足
- 回答していただけるならばどなたでも構いません。
この質問は、活躍中のチエリアンに回答をリクエストしました。
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- 質問日時：
- 2012/2/12 19:16:01
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- 解決日時：
- 2012/2/14 01:30:58
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- 回答数：
- 1
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ベストアンサーに選ばれた回答
①
n=3,4...と代入してみると、x3=9、x4=16 となるので、
一般形はxn=n^2と予想できる。
数学的帰納法を利用すると、
(i)n=1,n=2のときはx{1}=1,x{2}=4となるので、
x{n}=n^2が成り立つ。
(ii)n=k,k+1のときx{n}=n^2が成り立つとする。(kは自然数)
n=k+2のとき
x{k+2}=2×x{k+1}-x{k}+2
=2×(k+1)^2-k^2+2
=k^2+4k+4
=(k+2)^2
となり、x{n}=n^2 が成り立つ。
(iii)
(i)(ii)より、
x{n}=n^2が成り立ち、予想が正しいことが証明された。
②
(i)n=0のとき
2^0=1>0となるので、2^n>nが成り立つ。
(ii)n=kのとき2^n>nが成り立つとする。(nは0以上の整数)
n=k+1のとき、
2^(k+1)=2・2^k>2・k となり、成り立つ。
(iii)
(i)(ii)より、2^n>n(n=0,1,2,...)は証明された。
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- 回答日時：2012/2/12 23:32:09
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質問した人からのコメント
特に2番は苦戦していたのでとてもありがたいです。
とてもわかりやすかったです。