数学の問題です。 １から９９９までの整数のうちで、次の整数はいくつあるか。 ①各...

wat_attさん

mayumikan520さん


①
各位の数の和が 7 になるような 3 つの数字の組み合わせを数えると、

(0, 0, 7), (0, 1, 6), (0, 2, 5), (0, 3, 4),
(1, 1, 5), (1, 2, 4), (1, 3, 3), (2, 2, 3)

の 8 つです。この数字の並び方だけ整数が作られます。なお、桁数は 1 桁や 2 桁でも大丈夫なので、 0 が先頭に来るのも OK です。

例
007 = 7
043 = 43

ただ、数字の並び方を考えるときに、数字が重複しているものとそうでないものではその数が異なるため、これは分ける必要があります。

数字が 1 つも重複しないもの：

(0, 1, 6), (0, 2, 5), (0, 3, 4), (1, 2, 4)

これらは、 3 つの異なるものの順列だけ整数を作ることができるから、

3! × 4 = 24

数字が 2 つ重複するもの：

(0, 0, 7), (1, 1, 5), (1, 3, 3), (2, 2, 3)

これらは、 3 つの内 2 つが重複する場合の順列だけ整数を作る事ができるから、

3!/2! × 4 = 12

よって、

12 + 24 = 36

より、全部で 36 個の整数ができます。


②
①の整数に加えて、各位の数の和が 14, 21, 28, …などになるような数の組み合わせを数えれば良いだけです。とは言え、和は最大で 27 までなので、 14, 21 の 2 つの場合で十分です。

和が 14：

(0, 5, 9), (0, 6, 8), (0, 7, 7),
(1, 4, 9), (1, 5, 8), (1, 6, 7),
(2, 3, 9), (2, 4, 8), (2, 5, 7), (2, 6, 6),
(3, 3, 8), (3, 4, 7), (3, 5, 6),
(4, 4, 6), (4, 5, 5)

15 通り

和が 21：

(3, 9, 9),
(4, 8, 9),
(5, 7, 9), (5, 8, 8),
(6, 6, 9), (6, 7, 8),
(7, 7, 7)

7 通り

の合計 22 通りです。この内、 2 つの数字が重複するものが

(0, 7, 7), (2, 6, 6), (3, 3, 8), (4, 4, 6),
(4, 5, 5), (3, 9, 9), (5, 8, 8), (6, 6, 9)

の 8 通り

3 つの数字の重複するものが

(7, 7, 7)

の 1 通り

よって、整数の合計は

3! × 13 + 3!/2! × 8 + 3!/3! × 1 = 103

①と合わせて、

103 + 36 = 139

より 139 通り


※他の方の回答のように、単純に仕切り棒と組み合わせた重複順列で求めると、各位の数が 10 以上になる場合も含んでしまう危険があります。重複順列を用いる場合は、その分は後から除く必要がある点に注意です。