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数学の面白い問題ってありますか? 頭を使う、発想で解ける、 できるだけ簡単で...

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質問者

shou_1229haさん

2012/4/2622:09:44

数学の面白い問題ってありますか?
頭を使う、発想で解ける、
できるだけ簡単で、中学生レベルでお願いします。
いろいろと注文が多くてすみません。
よろしくお願いします。

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y_coolonさん

2012/4/2823:02:16

ある進学校の入試の過去問です。でも発想で解く問題です。

縦3×横3の計9つのマスがあります↓

□□□
□□□
□□□

端っことその端っこに数字をいれ、それに挟まれたところにその両端の平均の数をいれます↓(ここでは簡単な例を載せます)

2,4,6
0,2,4
-2,0,2

↑例えば一番下の段の横の列(-2、0、2)は-2と2の平均の数は0といった具合です。これが横、縦、斜めどこを見ても成り立つようにします。


問題はここから。

x,a,□
b,0,□
□□□

このように並んでいる場合、xをaとbを使って表せ!という問題です。


答え忘れたんでここでは載せませんが、補足等で教えてほしいと投稿していただければちゃんと調べますので。
でもすごく単純だった気がします。
x=a+bみたいな…

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abs4416absさん

編集あり2012/4/3011:17:49

【問】 6キロ走ってタイムが18分だったとき、ある1キロの区間をちょうど3分で走っていたことを示せ





【解】 スタートを0分とし、x分からx+3分までの3分間で走った距離をf(x)とする(0≦x≦15)。f(x)=1となるxがあることを示せばいいので、以下はそれを考える。

すべてのxについて常にf(x)>1だと仮定すると、
6㎞=f(0)+f(3)+f(6)+f(9)+f(12)+f(15)>1+1+1+1+1+1=6㎞
となり矛盾する。よって、f(a)≦1となるようなaがある。

すべてのxについて常にf(x)<1だと仮定しても、同様に矛盾するから、f(b)≧1となるようなbがある。


以上から、f(a)≦1≦f(b)となるようなa,bがある。このとき、a≦x≦bの範囲でf(x)の値を考えると、初めf(a)≦1だったのがいつのまにか1≦f(b)のように大小関係が入れ替わっているから、どこかでf(x)=1になっているはずである。これは、ある3分間でピッタリ1㎞走っていることを示している。

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編集あり2012/4/2703:11:34

問題と答え(1)3*3マスの魔方陣に縦横斜めの和が一定となるように1から9までの数字を1つずついれなさい。(解答)1から9だから合計=45。∴1列=15。以降真ん中を決めてから順番にとく。

(2)自然数a,b,cに対して1/a+1/b+1/c=1を満たすa,b,cの値の組を全て求めよ。(中学生でも解けるが高校生でも難しい問題)
(解答)a≦b≦cとして1/a+1/b+1/c=1≦3/aよりa≦3なのでa=2,3。これを代入してbとcを求める。
(3)最大公約数が6,最小公倍数が48の正の整数の組で合計が100以下のものを全て求めよ。(難しいわけではないが多分ほぼ全員間違える問題)
(解答)①2つの整数のとき
A=6a,B=6b(ab互いに素)
6ab=48よりab=8
∴a,b=(1,8)のみ
∴(A,B)=(6,48)
②3つの整数のとき
A=6a,B=6b,C=6c(abc互いに素)6abc=48よりabc=8
∴a,b,c=(1,1,8),(1,2,8)
∴(A,B,C)=(6,6,48),(6,12,48)。以降同様。

(4)時速40kmと時速60kmの平均時速はナンキロか。
(解答)120kmとすると時速40kmなら3時間と時速60kmなら2時間。合計240kmで5時間だから平均時速48km

(5)3で割って2余り,4で割って1余り,5で割って1余り,7で割って5余り,11で割って7余る最小の自然数を求めよ。(解答)x=3a+2=4b+1=5c+1=7d+5=11e+7より3a+2=4b+1なので3*1+2=4*1+1を引いて3(a-1)=4(b-1)∴a=4f+1。つまりx=3a+2=3(4f+1)+2=12f+5以降同様に繰り返す

(6)A(1,3),B(2,4)に対してy=x上の点PでAP+BPが最小になる点Pの座標を求めよ。(解)Aとy=xに関して対称な点をA'とすると直線A'Bと直線y=xの交点が求める点Pとなる。

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