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大学入試の数学の問題なのですがどなたか教えてください… 実数を係数とする２次方...

大学入試の数学の問題なのですがどなたか教えてください…

実数を係数とする２次方程式x^2＋px＋q＝0の二つの解α,βは虚数で、α^2＝２β＋１を満たしている。このとき、pとqの値を求めよ。

(ちなみに^2は二乗のことです)

質問日時：

2007/11/1 09:14:05

ケータイからの投稿
解決日時：

2007/11/1 13:42:28
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ベストアンサーに選ばれた回答

２次方程式x^2＋px＋q＝0の二つの解α,βは虚数であるので、α、βは共役な複素数。
したがって、α=a+bi、β=a-biとおける。(a,bは実数、さらにb>0とできる。）
解と係数の関係より、
-p=α+β=(a+bi)+(a-bi)=2a・・・・・・・①
q=αβ=(a+bi)*(a-bi)=a^2+b^2・・・・・・・②
α^2=2β+１より、
(a+bi)^2=2(a-bi)+1
(a^2-b^2)+2abi=2a+1+(-2b)i
a^2-b^2,2ab,2a+1,-2bは実数であるから、
a^2-b^2=2a+1・・・・・・・・③
2ab=-2b・・・・・・・・・④
④より
b(a+1)=0
α,βは虚数であるので、b≠0
よって、a=-1,これを③に代入して、b^2=2、b>0であるから、b=√2
したがって、
①より、p=2,②より、q=1+2=3