解決済みの質問

行列の問題

以下の行列の問題の解き方を教えてください！

（１）Ａ＾４＋Ａ＾３＋Ａ＾２＋Ａ＋Ｅ＝Ｏ
（Ａは成分がa,ｂ,ｃ,ｄの正方行列、Ｅは単位行列、Ｏは零行列）
を満たす時、｜Ａ｜の値を求めよ

（２）Ａ＾４＋Ａ＾３＋Ａ＾２＋Ａ＋Ｅ＝Ｏ
を満たす時、Ａ＋Ｂ＝（a＋d）Ｅとなることを示せ
（ＢはＡの逆行列）
また、a＋dの値を求めよ

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質問日時：

2008/9/16 08:30:48
解決日時：

2008/9/16 18:35:59
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ベストアンサーに選ばれた回答

passerby5001さん

A^4+A^3+A^2+A+E=O
Aをかけて、A^5+A^4+A^3+A^2+A=O
辺々引いて、A^5-E=O, A^5=E
|A^5|=|A|^5=|E|=1より、
|A|=1

A=
(a b)
(c d)
また|A|=1だから、
A^(-1)=(1/|A|)*
(d -b)
(-c a)
=
(d -b)
(-c a)
よって、
A+A^(-1)=
(a+d 0)
(0 a+d)
=(a+d)E

A^4+A^3+A^2+A+E=Oに、A^(-1)を２回かけて、
A^2+A+E+A^(-1)+A^(-2)=O
(A+A^(-1))^2-2E+A+A^(-1)+E=O
{(a+d)^2+(a+d)-1}E=O
よって、(a+d)^2+(a+d)-1=0より、
a+d=(-1±√5)/2

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回答日時：2008/9/16 09:36:15