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物理Ⅱの単振動について質問です。 「物体がばねから離れるときのばねの長さは...

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質問者

k_m_18782さん

2009/8/800:52:10

物理Ⅱの単振動について質問です。


「物体がばねから離れるときのばねの長さは?」

という問題がよく出てくるんですが

どんな条件でも答えは決まって自然長になります。

これはたまたまなんでしょうか?

補足ぼくもchackykcahcさんと同じ考えでした。

しかし

問題集に鉛直方向の単振動の問題がありまして

これもやっぱり答えは自然長だったんですよ。

ちなみに

この問題は鉛直以外に

とくにかわった条件もなく

一般的な問題でした。


だとすると

どんな条件でも必ず(高校レベルなら)自然長。

という風に解釈していいんでしょうか?

kurorin1960さんの説明もすごく納得のいくものでしたし。

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ベストアンサーに選ばれた回答

kurorin1960さん

編集あり2009/8/916:17:04

質問の通りです。

どのような問題(鉛直でも、斜面でも)においても、自然長です。
釣り合いの位置とは関係ありません。

下の図を見てください。バネはありません。

投げあげたり、上向きに滑らせたりしても、板と物体は離れずに一緒に運動します。

では、☆の位置にバネがあったらどうでしょう。

もともと離れないのだから、バネが板を押している最中はますます離れません。
しかし、バネが、引っ張ったときには、板と物体は離れるでしょう。

バネが引っ張るのは、自然長を超えたときです。

※他の方の、鉛直のときの考え方のミスを指摘します。
釣り合いの位置を超えると、確かに加速度は鉛直下向きに変わります。

しかし、板や物体は、もともと、重力加速度で下向きに運動しようとしています。
それより小さい、下向きの加速度では、板や物体から見れば、上向きに押されてことになります。

物体の運動方程式は、
ma=N-mg
です。
よって、離れる瞬間、すなわちN=0のときの加速度は
ma=0-mg
∴a=-g
です。
つまり、a=0(つり合いの位置)が離れる瞬間ではありません。

******************
補足を読みました。

自然長にならない場合を考えてみました。

板と物体の浮力を考える場合
板と物体の空気抵抗を考える場合
斜面との摩擦係数が、板と物体で異なる場合
などではないでしょうか。

chackykcahcさん、carnet_des_motsさん
お二人は異なる回答ですので、反論等をされるまで、回答を締め切るのは待ってくださいね。

反応がないときには、鉛直なばねの場合にしぼって、質問を起こしてみてはいかがでしょう。

投稿画像

質問した人からのコメント

2009/8/10 01:17:14

降参 丁寧な回答ありがとうございました。

複雑な条件がなければ成り立つ

という程度の解釈にしときます(笑)

この質問をした目的は、方程式なしで解きたいから

ではなく、方程式で求めてからの確認としての知識になるかな

と思ったからですから(笑)

ちょい足しを取り消しますが
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chackykcahcさん

編集あり2009/8/802:00:58

正確には自然長というよりも「ばねが釣り合った時の長さ」だと思います.


まず,物体とばねが離れるということはどういうことなのでしょうか?

それは,物体とばね先端の速度が異なる時です.
もしばね先端のスピードが,物体のスピードより遅ければ,物体はばねから離れていきます.

ここで具体例をあげてみましょう.

まず,地面に水平に取り付けたばねの先端に台を取り付け,その上に物体を置きます.

|
|---M---|●
|-------------

今からばねをちぢませた状態から手を離します.
すると,ばねには釣り合いの位置に戻ろうとする復元力が働くため,最初は台と物体ともに右方向に加速します.

しかし,ばねが伸びてゆき,物体が釣り合いの位置を過ぎたらどうなるでしょうか?
今度は逆方向(左)に復元力が働くため,台の速度は減少していきます.
しかし,物体は慣性の法則により,その時の速度を維持しようとするため,台よりも早い速度をもつことになります.

つまり,物体が釣り合いの位置に来た時,物体はばねから離れます.

この場合,物体の釣り合いの位置とは,ばねが自然長のときですから,ばねが自然長になった時,物体は台から離れます.


では次に,先ほどの状態を縦にしてみましょう.




Σ

-----

この状態での釣り合いの位置はどうなるのでしょうか?
物体に質量mが働く時,ばね定数をkとすれば,

釣り合いの式 mg=kx

より,x=mg/kとなるので,この長さだけばねが縮んだ状態が釣り合いの状態です.

先ほども申し上げましたように,復元力は釣り合いの位置に対して方向が決まります.
この場合,mg/kよりもばねが縮んでいれば,上向きの力が働き加速していくことになりますし,mg/kよりも伸びていれば,逆方向の力が働き,台の速度は減少します.

つまり,この状態において,物体がばねを離れるのは,ばねが自然長の時ではなく,mg/kだけ縮んだ状態の時です.



したがって,これらをまとめると,「ばねが釣り合いの長さになった時」,物体は台を離れると結論付けることができます.
結果,必ずしも自然長とはならないですね.

ちょい足しを取り消しますが
よろしいですか?

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編集あり2009/8/806:44:45

問題ではたいていバネの質量自体は考えないものですが,現実のバネが単体で振動している場面を想像してみて下さい。自然長から伸び縮みする方向に向かったとたんに引き戻す力が働き始めるので,バネの先端の速度は落ちていきます。つまり振動するバネの先端は自然長の位置が最も速いんです。

先端に物体が押されていく場合,バネが自然長になる前に物体が離れたとするとその瞬間にバネの先端はその物体の持つ速度(バネから離れてそのままなら一定速度)より速くなっていき物体に追いついてしまいます。というわけでこういう事は起こりません。
バネが自然長になったとき,バネ自体は伸び縮みしていないのでバネは物体を押す力を発生しておらず,また,バネの先端と物体は同じ速度です。その時点より先は物体はその自然長での速度なのにバネの先端速度は落ちていくので物体が離れる,というわけです。たまたまじゃないんですよ。


追記
あぁ! 水平に置いた場合しか思い浮かべていませんでした。chackykcahcさんが書かれているとおりですね。


追記
鉛直の場合は
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1019942990
で自分で計算していたのですけど,何ヶ月も経つと人間って忘れてしまうものですねぇ。

ちょい足しを取り消しますが
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