次の3重積分を教えてください。 ∫∫∫(v）dxdydz、ｖ=｛(x、y、z）｜x＾2/3+y＾2/3+...

pycckarさん

x^2+y^2+z^2≦3なので、
球座標では、
r：0→√3
φ：0→2π
θ：0→π
となる。
変数変換すると
dxdydz=(r^2*sinθ)drdθdφだから、
∫[0→√3]r^2 dr∫[0→π]sinθdθ∫[0→2π]dφ
＝√3 *2*2π
=4√3π

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もしかして、x^(2/3)+y^(2/3)+z^(2/3)≦1ですか。
それなら、全然違ってまして、
-1≦x,y,z≦1だから、z=tにおける断面S(t)を考え
（xy平面について対称だからz≧0を2倍します）
z=t（0≦t≦1)のとき、
x^(2/3)+y^(2/3)≦1-t^(2/3)=a^(2/3)とおくと、
アステロイドの囲む面積になるので、第一象限の面積を4倍すればよく、
S(t)=4∫[0→a] {a^(2/3)-(x^(2/3)}^(3/2) dx
x=a*(sinθ)^3で置換すると、
S(t)=12(a^2)∫[0→π/2] (sinθ)^2*(cosθ)^4 dθ
=12(a^2){∫[0→π/2](cosθ)^4 dθ -∫[0→π/2](cosθ)^6 dθ
ここで、
∫[0→π/2] (cosx)^n dx=(π/2)*{(n-1)(n-3)…3・1}/{n(n-2)…4・2} （n≧2の偶数）
∫[0→π/2] (cosx)^n dx={(n-1)(n-3)…3・1}/{n(n-2)…5・3} （n≧3の奇数）
だから、
S(t)=12(a^2)*(π/2)*(3/8 - 15/48)=12(a^2)*(π/2)*(1/16)=(3/8)π(a^2)
=(3/8)π{1-t^(2/3)}^3
よって、体積は、
V=2∫[0→1] S(t)dt
=2∫[0→1] (3/8)π{1-t^(2/3)}^3 dt
=(3/4)π∫[0→1] {1-3*t^(2/3)+3*t^(4/3)-t^2} dt
=(3/4)π[t -(9/5)t^(5/3) +(9/7)*t^(7/3) -(1/3)t^3]_0→1
=(4/35)π

計算ミスがなければこうなるようです。
(sinx)^nと(cosx)^nの定積分は、高校の教科書準拠問題集でも
（オリジナルや4stepは公式のみ、マスグレスは例題として扱っている）
扱っているので、既知の公式として利用します。