解決済みの質問

数学Cの行列の問題教えてください

（２１）
（－２５）＝A
について
（１）A'２－７A＋１２E＝Oを示せ
（２）A'(n＋１）－３A'n＝４'n（A-３E）を示せ。
（３）A'nを求めよ

良かったら教えてください

質問日時：

2010/2/8 00:09:03
解決日時：

2010/2/8 01:09:30
回答数：

2
お礼：

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ベストアンサーに選ばれた回答

yti_94193645さん

'2 などは、2乗のつもりでしょうか？
^2のように記します

(1)計算すればわかります。ハミルトン・ケーリーの定理からも

(2)A^(n+1)-3A^n=4^n*(A-3E) の証明
(1)の両辺にA^n をかけると、
A^(n+2)-7A^(n+1)+12A^n=0
変形して、A^(n+2)-3A^(n+1)=4(A^(n+1)-3A^n) ←一種の漸化式のようなもの
∴A^(n+1)-3A^n=4(A^n-3A^(n-1))
=4*4(A^(n-1)-3A^(n-2))
=…
=4^(n-1)(A^2-3A)
(1) より、A^2-3A=4(A-3E) なので、
A^(n+1)-3A^n=4^(n-1)(A^2-3A)=4^n*(A-3E) //

(3)漸化式a_[n+1]-3a_n=4^n(a-3) (a=a_1) を考える
両辺3^(n+1) で割り、
a_[n+1]/3^(n+1)-a_n/3^n=(4/3)^n*(a-3)/3
a_n/3^n=b_n とおくと、
b_1=a/3、b_[n+1]-b_n=(4/3)^n*(a-3)/3
∴b_n=b_1+Σ[k=1,n-1](4/3)^k*(a-3)/3
=a/3+(a-3)/3*{(4/3)^(n-1)-1}/(4/3-1)
=a/3+(a-3)/3*3{(4/3)^(n-1)-1}
よって、
a_n=3^n*b_n=a*3^(n-1)+(a-3)*3^n{(4/3)^(n-1)-1}
=a*3^(n-1)+(a-3)(3*4^(n-1)-3^n)
この漸化式で、a_nをA^n, aをA, a-3をA-3E と置き換えたものを考えると、
A^n が求まる(計算は面倒なので…)