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行列の問題が解けません。 A= (-5 4) (-9 7) P= (2 1) (3 2) B=P^-1AP のと...
qattackmさん
行列の問題が解けません。
A=
(-5 4)
(-9 7)
P=
(2 1)
(3 2)
B=P^-1AP のとき、次の問に答えよ。ただし、nは自然数。
問1 B、B^2、B^3、B^4を求めよ。
問2 B^nを推測し、その推測が正しいことを、数学的帰納法を用いて証明せよ。
問3 A^nを求めよ。
数Cを未履修の私が悪いのですが、よろしくお願いします。
あと、あまり関係がありませんが、^はどのキーを打つんですか?
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- 質問日時：
- 2010/2/20 20:30:53
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- 解決日時：
- 2010/2/20 23:26:29
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ベストアンサーに選ばれた回答
行列の問題で、P^(-1)APとあるときは、
...α....0
....0....β
または、
...α....c
....0....α
のいすれかになります。覚えておくと、検算の目安になります。
......2...1
P=.............より、
......3...2
.................2...-1
P^(-1)=
...............-3.....2
....................2...-1.....-5...4.......-1...1
P^(-1)A=..............................=
..................-3.....2.....-9...7.......-3...2
..................-1...1.....2...1.......1...1
P^(-1)AP=.........................=
..................-3...2.....3...2.......0...1
......1...1
B=.
......0...1
...........1...2
B^2=
...........0...1
...........1...3
B^3=
...........0...1
...........1...4
B^4=
...........0...1
...........1...n
B^n=
...........0...1
{P^(-1)AP}{P^(-1)AP}{P^(-1)AP}・・・{P^(-1)AP}{P^(-1)AP}=B^n
P^(-1)A{PP^(-1)}A{PP^(-1)}A{P・・・P^(-1)}A{PP^(-1)}AP=B^n
P^(-1)AEAEAE・・・EAEAP=B^n
P^(-1)AAA・・・AP= B^n
P^(-1)A^nP= B^n
両辺に左からPを右からP^(-1)をかけて、
P{P^(-1)A^nP} P^(-1)=P B^n P^(-1)
{PP^(-1)}A^n{P P^(-1)}=P B^n P^(-1)
EA^nE=P B^n P^(-1)
A^n=P B^n P^(-1)
最後になりましたが、
累乗記号^は、F11の真下です。へ～＾です。(^^♪
別解です。
ケイリー・ハミルトンの定理より、
A^2-{(-5)+4}A＋{(-5)・5-4・(-9)E=O
A^2-2A＋E=O
A^2-2AE＋E^2=O
(A-E)^2=O
ここで、N=A-Eとおきます。
A=N+Eであり、
N^2=O
A^n
=(N+E)^2
ここで、NE=EN=Nとなるので、
2項定理を用いて、
A^n
=nC0N^n+nC1N^(n-1)E++nC2N^(n-1)E^2+・・・+nCn-1NE^(n-1)+nCnE^n
N^2=Oより、k≧2のとき、nCkN^kE(n-k)=O
A^n
=nCn-1NE^(n-1)+nCnE^n
=nCn-1N+nCnE
=nN+E
=n(A-E)+E
=nA+(1-n)E
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- 編集日時：2010/2/20 21:12:51
- 回答日時：2010/2/20 21:00:28
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ベストアンサー以外の回答
（1件中1〜1件）
問１
P=
(2 1)
(3 2)
P^-1 =
( 2 -1)
(-3 2) （P P^-1 = Iになるのを確認してください）
B=P^-1AP =
( 2 -1)(-5 4) (2 1)
(-3 2)(-9 7) (3 2)=
(-1 1)(2 1)
(-3 2)(3 2) =
( 1 1)
( 0 1)
B^2=
(1 1)(1 1)
(0 1)(0 1) =
(1 2)
(0 1)
B^3=B^2B=
(1 2)(1 1)
(0 1)(0 1) =
(1 3)
(0 1)
B^4=B^3B=
(1 3)(1 1)
(0 1)(0 1) =
(1 4)
(0 1)
問２
推定
B^n =
(1 n)
(0 1)
証明
B^k =
(1 k)
(0 1) と仮定する。
B^(k+1) =B^kB =
(1 k) (1 1)
(0 1) (0 1) =
(1・1+k・0 1・1+k・1)
(0・1+1・0 0・1+1・1) =
(1 k+1)
(0 1)
となり、n=k で仮定が成立するなら、n=k+1でも成立することが示された。
n=1 では成立してる。数学的帰納法により、任意の正の数ｎに対して成立する、と言える。
問３
B^n = (P^-1AP)^n = (P^-1AP)(P^-1AP)(P^-1AP)・・・(P^-1AP)
= P^-1 A(PP^-1)A(PP^-1)A(PP^-1)・・・(PP^-1)AP
ここで、
(PP^-1)＝I (単位行列）
AI=Aであることから、
B^n = P^-1 A^n P
両辺に左から P、右から P^-1 をかけて、
PB^nP^-1 = PP^-1 A^n PP^-1 = (PP^-1) A^n (PP^-1) =IA^nI=A^n
よって、A^n =
PB^nP＾-1 =
(2 1)(1 n)( 2 -1)
(3 2)(0 1)(-3 2) =
(2 2n+1)(2 -1)
(3 3n+2)(-3 2) =
(1-6n 4n)
(-9n 6n+1)
キーボードには種類がいくつかあるので、あなたのとは違うかもしれませんが、私のキーボードなら「＾」はかなの「へ」のキーを普通に打つと出ます。
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- 回答日時：2010/2/20 21:20:17
質問した人からのコメント
御二方には、感謝しております。