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a^3+b^3+c^3-3abcの解き方が理解できません 解答を見るとまず =(a+b)^3-3ab(a+b)+c...
thckgさん
a^3+b^3+c^3-3abcの解き方が理解できません
解答を見るとまず
=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc
={(a+b)+c}^3-3(a+b)c{(a+b)+c}-3ab{(a+b)+c}
となるんですが最初の(a+b)^3-3ab(a+b)は必要なんでしょうか？
最初に{(a+b)+c}^3-3(a+b)c{(a+b)+c}の形にしてはいけないのでしょうか？
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- 質問日時：
- 2010/7/21 15:12:00
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- 解決日時：
- 2010/7/21 17:10:43
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ベストアンサーに選ばれた回答
qajiroさん
＞最初の(a+b)^3-3ab(a+b)は必要なんでしょうか？
これがないと、元の式である
a^3+b^3+c^3-3abc
から
{(a+b)+c}^3-3(a+b)c{(a+b)+c}-3ab{(a+b)+c}
の式を、どうやって導き出したのかがわからないからです。
計算してこの式が出てくるまでの過程を示す必要があるのです。
この計算のベースになっている公式は、
A^3+B^3=(A+B)^3-3AB(A+B)
ですね。
これを適用するために、まず
(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc
として、(a+b)^3 と c^3 の項を作り出しているのです。
続いて、A=a+b, B=c として
A^3+B^3=(A+B)^3-3AB(A+B)
を計算するわけです。
始めからの計算結果をすべて示しますと、
a^3+b^3+c^3-3abc
=(a^3+b^3) +c^3-3abc
={(a+b)^3 -3ab(a+b)} +c^3 -3abc
=(a+b)^3+c^3-3ab(a+b)-3abc
={(a+b)^3+c^3} -3ab(a+b)-3abc
={(a+b)+c}^3 -3(a+b)c{(a+b)+c} -3ab(a+b)-3abc
=(a+b+c)^3-3(a+b)c(a+b+c)-3ab{(a+b)+c}
=(a+b+c)^3-3(a+b)c(a+b+c)-3ab(a+b+c)
=(a+b+c){(a+b+c)^2-3(a+b)c-3ab}
=(a+b+c){(a+b+c)^2-3ab-3bc-3ca}
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
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- 回答日時：2010/7/21 16:18:09
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maltsspさん
こんにちは。暑いですね・・・。
以下のように書けばお判りでしょうか?
ａ³＋ｂ³＋ｃ³－３ａｂｃ
＝(ａ³＋ｂ³)＋ｃ³－３ａｂｃ
＝{(ａ＋ｂ)³－３ａｂ(ａ＋ｂ)}＋ｃ³－３ａｂｃ
＝{(ａ＋ｂ)³＋ｃ³}－３ａｂ(ａ＋ｂ)－３ａｂｃ
＝{(ａ＋ｂ)³＋ｃ³}－３ａｂ{(ａ＋ｂ)＋ｃ}
＝[{(ａ＋ｂ)＋ｃ}³－３(ａ＋ｂ)ｃ{(ａ＋ｂ)＋ｃ}]
－３ａｂ{(ａ＋ｂ)＋ｃ}
＝{(ａ＋ｂ)＋ｃ}³－３(ａ＋ｂ)ｃ{(ａ＋ｂ)＋ｃ}
－３ａｂ{(ａ＋ｂ)＋ｃ}
＝(ａ＋ｂ＋ｃ)³－３(ａ＋ｂ)ｃ(ａ＋ｂ＋ｃ)
－３ａｂ(ａ＋ｂ＋ｃ)
＝(ａ＋ｂ＋ｃ){(ａ＋ｂ＋ｃ)²－３(ａ＋ｂ)ｃ－３ａｂ}
＝(ａ＋ｂ＋ｃ){(ａ＋ｂ＋ｃ)²－３(ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ)}
＝(ａ＋ｂ＋ｃ)(ａ²＋ｂ²＋ｃ²－ａｂ－ｂｃ－ｃａ)
如何でしょうか?
当然ですが、一般的には”(ａ＋ｂ)³≠ａ³＋ｂ³”です。
従って、”３乗の和の因数分解”に持ち込むことが
出来るように、最初の変形を行った訳です・・・。
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- 回答日時：2010/7/21 15:49:21
{(a+b)+c}^3を計算するのは面倒くさいですよね。
別にいいんですが、明らかに、前者の方が楽です。
というよりも、
公式として、
a³+b³+ｃ³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)と丸暗記した方がいいですよ☆
高２ですが、これを解けなどとはでたことはありませんが、
これを用いてとく問題は何度かみかけました。
やり方も大事ですが、暗記も大切だと思いますよ☆
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- 回答日時：2010/7/21 15:47:25
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