解決済みの質問
幾何学の問題ついて質問をさせてください。 よくわからなくて・・・。 n,mを自然数...
幾何学の問題ついて質問をさせてください。
よくわからなくて・・・。
n,mを自然数かつｎ＜ｍとする。
G_n,m＝｛AはC成分のｎ次正方行列で、A^*=A、A^2=A、TrA=m｝とする。
G_n,mとG_n,m-nが同相であることを示せ。
という問題です。
どなたかお願いします。
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- 質問日時：
- 2011/1/20 11:16:49
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- 解決日時：
- 2011/1/25 07:43:23
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ベストアンサーに選ばれた回答
同相写像を実際に作ればいいです。
A∈G_n,mとする。n次単位行列をI_nとすると、I_n - A∈G_n,n-m
が成り立つ：
(I_n - A)^* = I_n - A^* = I_n - A,
(I_n - A)^2 = I_n - 2A + A^2 = I_n - 2A + A = In - A,
tr(I_n - A) = tr I_n - tr A = n -m
同様にB∈G_n,n-m⇒I_n - B∈G_n,mが成り立つ。
そこでG_n,mからG_n,n-mへの写像f_1をA→I_n - A、同様に
f_2:G_n,n-m→G_n,mをB→I_n - B により定義する。このとき、
f_1,f_2は連続かつ f_2・f_1 = Id_G_n,m (G_n,m上の恒等写像)、
f_1・f_2 = Id _G_n,n-mとなるので、G_n,mとG_n,n-mは同相である
(ここで・は写像の合成を表す)。
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- 回答日時：2011/1/21 19:16:46
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