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数学の微分積分の問題です。 解き方を教えてください。

f6752286さん

2011/5/1122:11:05

数学の微分積分の問題です。
解き方を教えてください。

[1] 次の関数の第n次導関数を求めよ。

y=cosxcos2x

[2] 次の不定積分を求めよ。

y=∫1/(tanx)^2 dx

[3] 次の定積分を求めよ。

e^3
y=∫1/x(logx)^2 dx
e^2

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nbr32nknshさん

2011/5/1216:06:46

[質問者f6752286]

y = (1/2)(cos 3x + cos x)

n=2k-1 のとき y^(2k-1) = (1/2)(-1)^k {3^(2k-1) sin 3x + sin x}

n=2k のとき y^(2k) = (1/2)(-1)^k {3^(2k) cos 3x + cos x}

[2] y = ∫cos^2 x/sin^2 x dx

= ∫1/sin^2 x dx - ∫dx

= -cot x - x + C

[3] log x = t とおけば

y = ∫_[2~3] 1/t^2 dt = (1/2) - (1/3) = 1/6

[なお,もし(logx)^2が分子にあるのなら,

y = ∫_[2~3] t^2 dt = (1/3)(3^3 - 2^3) = 19/3]

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