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剰余(-10、3)⇒2 何故ですか?

sgsgasgasgsdgasdgawg5484さん

2012/4/1101:56:36

剰余(-10、3)⇒2 何故ですか?

剰余(10、3)⇒1

↑これはわかります。
10÷3の余りは1なので、1です。


しかし、
剰余(-10、3)⇒2
↑これがわかりません。
何故2になるのか。


教えて下さい。

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thetheorierさん

2012/4/1107:21:22

そもそも余りの概念では除算は使えません。

「10÷3=1…1」のような表記は形式的なものです。

剰余とは、整数全体で拡張して言えば、整数aと正整数m(正しm>1)に対して、整数rが存在して

「a-rがmの倍数」

であるとき、rはaの(法mに関する)剰余と言えます。

質問での一つ目で言えば、

-10-2
=-12
=3*(-4)

で-10-2は3の倍数なので、-10を3で割った剰余として良いでしょう。

ただ、どうしても負数になると「剰余」では若干違和感がありますから、やはりここは「合同式」として理解した方が違和感が無いですね。

因みに合同式とは、整数a,bの差a-bが整数m(正しm>1)の倍数であるとき、

a≡b (mod m) …(※)

と書くものです。

高校では(仮に学ぶならば)、ここからaを正整数、0≦b<aと制限をかけて、「aをmで割った余りがb」になぞらえて合同式とします。

上記での説明は(※)における合同式に則って導いている訳です。

整数全体への拡張は大学数学になってからになりますので、質問のような状況が理解しかねるのは無理からぬことです。
上記の通り、「割った余り」に固執していますからね。

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watayans30さん

2012/4/1108:05:10

-10=3×(-4)+2 だからです。
-10=3×(-3)+(-1) として余りを-1と考える場合もあります。

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2012/4/1104:00:44

剰余は正数という約束だから

-10=-4×3+2

で剰余2です。

剰余に負数も認めれば

-10=-3×3+(-1)

で剰余-1という解釈も可能ですが、そうすると

10=3×3+1
10=4×3+(-2)

同じ数について剰余がふた通り有り得ることになって混乱します。

また正数の剰余は正、負数の剰余は負という約束も可能ですが
これは実用上不便です。

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fried_turnipさん

2012/4/1102:30:55

AをBで割った時の剰余C(非負整数)は、
整数nを使って次のように表せます。
A=nB+C

例えば
9=3×3+0 ⇒ 剰余(9,3)⇒0
8=2×3+2 ⇒ 剰余(8,3)⇒2
7=2×3+1 ⇒ 剰余(7,3)⇒1
6=2×3+0 ⇒ 剰余(6,3)⇒0
5=1×3+2 ⇒ 剰余(5,3)⇒2
4=1×3+1 ⇒ 剰余(4,3)⇒1
3=1×3+0 ⇒ 剰余(3,3)⇒0
2=0×3+2 ⇒ 剰余(2,3)⇒2
1=0×3+1 ⇒ 剰余(1,3)⇒1
0=0×3+0 ⇒ 剰余(0,3)⇒0
-1=-1×3+2 ⇒ 剰余(-1,3)⇒2
-2=-1×3+1 ⇒ 剰余(-2,3)⇒1
-3=-1×3+0 ⇒ 剰余(-3,3)⇒0
-4=-2×3+2 ⇒ 剰余(-4,3)⇒2
-5=-2×3+1 ⇒ 剰余(-4,3)⇒1
-6=-2×3+0 ⇒ 剰余(-4,3)⇒0
-7=-3×3+2 ⇒ 剰余(-4,3)⇒2
-8=-3×3+1 ⇒ 剰余(-4,3)⇒1
-9=-3×3+0 ⇒ 剰余(-4,3)⇒0
-10=-4×3+2 ⇒ 剰余(-10,3)⇒2

剰余(A,B)=C のとき、剰余(-A,B)=B-C であることを使えば簡単です。
剰余(10,3)=1 なら、剰余(-10,3)=3-1=2 となります。

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