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n次行列の固有値と固有ベクトル

sosora2さん

n次行列の固有値と固有ベクトル

次のn次行列の固有値と固有ベクトルを求め

|0、1、0、・・・0|
|0、0、1、・・・0|
|・・・・・・・・・・|
|0、0、・・・・・1|
|1、0、・・・・・0|

という問題が解けません。
誰か教えてください。

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ベストアンサーに選ばれた回答

small_moves_ellie_small_movesさん

n乗すると単位行列になります。実際計算してもよいですし、列ベクトルt(x1 x2 ... xn)をかけると成分の置換になっていることからもわかるでしょう。

特性多項式は t^n-1 。すべて単根ですから対角化可能です。固有値は1のn乗根
固有ベクトルは、成分の置換になっていることから、1のn乗根を並べて作れるでしょう

-----
固有ベクトルの求め方ですが、
(x1 x2 ... xn) と書くことにします。この行列による変換は

(x1 x2 ... xn) → (x2 x3 ... x1)

となります。例えばξを1のn乗根のひとつとすれば、x1=1 と決めておいて

(1 x2 ... xn) → (x2 x3 ... 1)=ξ(1 x2 ... xn)

とすれば求められます

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  • 編集日時:2008/7/31 20:54:14
  • 回答日時:2008/7/31 18:00:48

質問した人からのコメント

  • 感謝回答ありがとうございます。
  • コメント日時:2008/8/3 21:22:46

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