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オイラーの公式を使ってsin2θ cos2θ sin3θ cos3θの四つを求めるんですが、二倍角の...

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質問者

forbiddenplaywithknifeさん

2009/4/1916:36:18

オイラーの公式を使ってsin2θ cos2θ sin3θ cos3θの四つを求めるんですが、二倍角の公式と三倍角の公式を使い始めたあたりで先に進めなくなりました。だれかヒントください

補足元の式からiを含む式に変化させるところでつまずいてます

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編集あり2009/4/2002:34:16

オイラーの公式 e^(iθ)=cosθ+isinθ より、

同じことなんですが、

ド・モアブルの公式(ただし、nは整数)
(cosθ+isinθ)^n=cosnθ+isinnθ

から計算した方が簡単ですよ。

ヒントです。
e^(3iθ)=cos3θ+isin3θ
{e^(iθ)}^3=cos3θ+isin3θ
(cosθ+isinθ)^3=cos3θ+isin3θ
e^(4iθ)=cos4θ+isin4θ
{e^(iθ)}^4=cos4θ+isin4θ
(cosθ+isinθ)^4=cos4θ+isin4θ

こちらをどうぞ。チェビシェフの多項式
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/inequality/tschebyscheff.htm

補足
(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3 を使います。
(cosθ+isinθ)^3=cos3θ+isin3θ
cos^3θ+i3cos^2θsinθ-3cosθsin^2θ-isin^3θ=cos3θ+isin3θ
cos^3θ-3cosθsin^2θ+i(3cos^2θsinθ-sin^3θ)=cos3θ+isin3θ
cos^3θ-3cosθ(1-cos^2θ)+i{3(1-sin^2θ)sinθ-sin^3θ}=cos3θ+isin3θ
4cos^3θ-3cosθ+i(3sinθ-4sin^3θ)=cos3θ+isin3θ

(x+y)^4=x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4 を使います。
または、e^(4iθ)={e^(2iθ)}^2

さらに補足
(cosθ+isinθ)^4
=cos^4θ+i4cos^3θsinθ-6cos^2θsin^2θ-i4cosθsin^3θ+sin^4θ
=cos^4θ-6cos^2θsin^2θ+sin^4θ+i(4cos^3θsinθ-4cosθsin^3θ)
=cos^4θ-6cos^2θsin^2θ+(sin^2θ)^2+i(4cos^3θsinθ-4cosθsin^3θ)

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