複素関数の問題です。 f(z)を領域Ｄで定義された連続関数とする。Ｄ内の任意の閉...

syetaniさん

積分の変数はwと書くことにする。
Ｇ(z)=∫[Cz]f(w)dw

1.
Lzを0とZを結ぶ直線とする
Cz-Lzは0からスタートしzをとおり0に戻る閉曲線である。
したがって∫[Cz-Lz]f(w)dw=∫[Cz]f(w)dw-∫[Lz]f(w)dw=0
よってCzのルートによらず、G(z)の値は∫[Lz]f(w)dwに等しい。

2.
G(z+h)-G(z)=∫[C(z+h)-C(z)]f(w)dw=∫[z+hとzを結ぶ直線]f(w)dw
なので
w=z+th (0≦t≦1)とおけばw'(t)=hなので
G(z+h)-G(z)=∫[0,1]f(z+th)hdt=h∫[0,1]f(z+th)dt
したがって
(G(z+h)-G(z))/h=∫[0,1]f(z+th)dt
ここで、fはzで連続なので任意のε>0に対して
δ>0を小さくとれば、|h|<δとすれば、任意のt∈[0.1]において
|f(z+th)-f(z)|<εとできる。
つまりsup|f(z+th)-f(z)|→0(|h|→0)であり、f(z+th)は
|h|→0のときf(z)に一様収束する。
したがってlimと∫の順序を入れ替えてよく
lim[h→0](G(z+h)-G(z))/h=lim[h→0]∫[0,1]f(z+th)dt
=∫[0,1]lim[h→0]f(z+th)dt
=∫[0,1]f(z)dt
=f(z)

3.
正則関数は何度でも微分可能
したがってf(z)も微分可能であり、正則

4.
CをDの任意の閉曲線とすると
∫[C]f(w)dw=∫[C]lim[n→∞]fn(w)dw
（fn→fは一様収束だったので）
=lim[n→∞]∫[C]fn(w)dw
（fnは正則なので）
=lim[n→∞]0
=0
したがって1.2.3.よりf(w)=lim[n→∞]fn(w)も正則