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ローラン展開の極の位数 sinz/z^2+1の極の位数はｚ＝±iで一位の極である。と、い...

ローラン展開の極の位数

sinz/z^2+1の極の位数はｚ＝±iで一位の極である。と、いきなり書いてあったのですがローラン展開せずに、極の位数を求めることはできるのですか？そのやり方を教えて下さい。

質問日時：

2009/12/5 02:28:19
解決日時：

2009/12/19 09:08:19
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分子にそれぞれ(z+i)、また(z-i)を掛けて各々の場合に、z→±i（極）の極限を求めた時に発散が抑えられれば、すなわち収束すれば、一位の極であるとわかるので、確かめてみてください。不定形のときはロピタルを使ってください。

補足
極が二位っぽいときは(z-極)^2を分子にかけて、収束を確かめる。三位っぽい解きは三乗・・・
tanzが分母に来るような時は一目でわからないのでローラン展開などが必要だが・・・

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編集日時：2009/12/5 03:00:10
回答日時：2009/12/5 02:52:54

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riewseygoさん

関数 f(z) が z=a で ∞ になり、その近傍では正則であるとき、
lim[z→a] (z-a)^k f(z)
が 0 でない有限な一定値であるとき、f(z) は z=a で k位の極を持つ、と定義されます。

sinz/(z^2+1) の場合、sinz は |z|<∞ で正則なので、極を持つなら z^2+1 = 0 の点でのみ持ちます。
1/(z^2+1) = 1/{(z+i)(z-i)}
ですから定義から z=±i でそれぞれ一位の極を持つとわかります。

一般に、1/f(z) で f(z) が有理多項式のばあい f(z) は因数分解でき、
f(z) = (z-α)^k(z-β)^l ・・・、 (k、l、... は正の整数)
となるので、1/f(z) は z=α、β、... において k、l、...位の極を持ちます。