私は６年前に、二人の子供を連れて今の主人と再婚しました。その時に、子どもたち...

suzu0730250さん

基本的には府営住宅に入居される際の条件によるのではないでしょうか？
もし府営住宅に入居する際の条件に子供の戸籍等の記載があれば、移す必要があるのかと思いますが、ないのであればそのままでも特に問題は無いと思います。

あなた自身がお子様と生計を一緒にするという事がわかれば特に問題が無いように思いますが、後は苗字がどうかと言った所でしょうか・・・。養子縁組がそのままなのであれば、お子様は元旦那さまの苗字になると思いますので。後はあなた自身が結婚した際の苗字を名乗り続けるか・・・もしくはお子様と別々でも構わないかの問題だと思います。

親権と戸籍は別物ですので、そんなに心配は無いと思います。
重要なのは住民票を移すか否かの問題だと思います。戸籍はそのままにされても住民票は移られる移転先の住所に皆さました方が良いと思いますが・・・。それも条件次第だと思います。

府営住宅の申し込み＋移転に際して、恐らく条件等が記載されている書類があるはずなので、それを確認されてみてください。もしわからないようであれば、「相談」という形で府営住宅を管理している窓口に確認されても良いと思います。