aを正定数とする。３辺の和が2aという条件を保ちながら変化する三角形ABC(下の写真...

mqlmqlmql_penさん

aを正定数とする。３辺の和が2aという条件を保ちながら変化する三角形ABC(下の写真)を考える。
BC=x、CA=y、AB=zとする。頂点Aから辺BCに下ろした垂線の長さをhとする。

(1)辺BCを軸として三角形ABCを回転してできる立体の体積Vを、xおよびhを用いて表せ。

(2)体積Vをx、yの関数として表せ。同時に、変数x、yの動きうる領域Dを図示せよ。
必要があれば、三角形ABCの面積は√a(a-x)(a-y)(a-z)で与えられるヘロンの公式を用いてもよい。

(3)x、yが領域D内において変動するとき、Vの値が最大となるときのx、yの値およびそのときのVの値を求めよ。

という問題です。


(1)は
V=π(h^2)x/3・・・①
だと思います。

(2)はヘロンの公式を用いて、
hx/2=√a(a-x)(a-y)(a-z)

両辺を２乗して
(h^2)(x^2)/4=a(a-x)(a-y)(a-z)

(h^2)=4a(a-x)(a-y)(a-z)/(x^2)・・・②

題意から、x+y+z=2aなので
z=2a-x-y

②に代入して
(h^2)=4a(a-x)(a-y)(x+y-a)/(x^2)

これを①に代入して
V=4πa(a-x)(a-y)(x+y-a)/3x・・・③

変数x、yの動きうる領域Dはx+y=2a(x>0,y>0,境界は含まない)
(φ=2a-x-yとしておく・・・④)


以上のように考え(3)を解いたのですが、解けませんでした。

条件付き極値の問題だと思ったので、
∂V/∂x、∂V/∂y、∂φ/∂x、∂φ/∂y、
を求め

(∂V/∂x)/(∂φ/∂x)=(∂V/∂y)/(∂φ/∂y)
に代入して計算し、

y=-x+a,y=(x^2-ax+a^2)/a
が出たので

④に代入して
x、yの値を求め、③に代入してVの値を求めようと思ったのですが、

y=-x+aを④に代入したらxが消えるし
y=(x^2-ax+a^2)/aを代入したらx=y=aになりV=0になりました。



どこが間違っているのでしょうか？





よろしくお願いしますm(__)m