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メジアンの325の解答を教えてください。4点O(0,0,0)、A(1,2,0)、B(2,0,-1...

rwmqb250さん

2010/11/818:57:22

メジアンの325の解答を教えてください。4点O(0,0,0)、A(1,2,0)、B(2,0,-1)、C(0,-2,4)を頂点とする四面体OABCについて、点D(3,-2,7)に対し、直線ODと△ABCの交点Pの座標は《答え》である。

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jumping_junkさん

2010/11/822:56:27

直線上の点は1つのベクトルを、平面上の点は2つのベクトルを用いることで、それぞれ表すことができるということを用います。
なお、「ベクトルAB」を↑ABと書くことにします。
また、座標とベクトルの成分表示とが混乱するのを避けるため、座標は(x,y,z)と表し、ベクトルは[x,y,z]と表すようにします。

点Pは直線OD上の点なので、あるスカラーkが存在して、
↑OP=k↑OD
と書くことができます。

すると、↑OD=[3,-2,7]ですから、↑OP=[3k,-2k,7k]と表せることになります。
よって、Pの座標をP(x,y,z)とすると、x=3k,y=-2k,z=7kが成り立ちます。

次に、点Pは△ABC(を含む平面)上の点なので、あるスカラーs,tが存在して、
↑AP=s↑AB+t↑AC
と書くことができます。

↑AB=[1,-2,-1]、↑AC=[-1,-4,4]ですから、↑AP=[s-t,-2s-4t,-s+4t]と表せることになります。
ここで、↑OP=↑OA+↑APであり、↑OA=[1,2,0]なので、↑OP=[s-t+1,-2s-4t+2,-s+4t]とできます。
よって、Pの座標P(x,y,z)について、x=s-t+1,y=-2s-4t+2,z=-s+4tが成り立ちます。

P(x,y,z)の2つの表し方から、k,s,tについて、連立方程式
{3k=s-t+1…①
{-2k=-2s-4t+2…②
{7k=-s+4t…③
が得られます。

②の両辺を-2で割ると、k=s+2t-1…④が得られます。
すると、①-④から
...3k=s..-t+1
-)..k=s+2t-1
-----------
...2k=...-3t+2…⑤
が得られ、さらに③+④から
...7k=-s+4t
+)..k=..s+2t-1
-----------
...8k=......6t-1…⑥
が得られます。

ここで⑤×2+⑥を考えると、
...4k=-6t+4
+)8k=..6t-1
----------
..12k=......3
となり、ここからk=3/12=1/4が得られます。

これにより、x=3k,y=-2k,z=7kにk=1/4を代入することで、Pの座標はP(3/4,-1/2,7/4)となります。

質問した人からのコメント

2010/11/8 23:22:02

本当にありがとうございました!!とてもわかりやすかったです。

ちょい足しを取り消しますが
よろしいですか?

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