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高校の化学平衡における近似がおかしいと思うのですが

yusuu2001さん

2011/1/2322:16:02

高校の化学平衡における近似がおかしいと思うのですが

高校の化学平衡の分野で、酢酸を例にとります。
酢酸の電離度などを求める際に、電離度をα、酢酸の濃度をC、電離平衡定数をKとすると、

K=(Cα)^2/C(1-α)

の式において、1≫αとなるから1-α≒1と近似して、

K=(Cα)^2/C

とすることが定石になっています。
しかし、高校物理では、1≫xのとき、

(1+x)^n≒1+nx

と習いました。それを適用すれば、

1/(1-α)={1+(-α)}^(-1)≒1+α

と近似され、

K=(1+α)(Cα)^2

となると思います。
実際問題、これではαの3次式になってしまい、ますます解きにくくなってしまうので実用性はないとは思うのですが、1-αを1としてしまうことに、いまいち納得の良く説明がされていない気がします。「1-α 平衡 化学」などのキーワードで検索しても、1-α=1を所与のものとしている話ばかりで、納得がいきません。1-αを1と近似してよい数学的説明などをいただけると助かります。

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2011/1/2413:30:10

そもそも式を近似式にするのはもともままでは計算ができないか、あるいは出来ても非常に難しいかです。
今の場合、1-α≒1とすれば簡単に解けますが、そうでないならいまの場合はもろに
(Cα)^2+KCα-KC=0...①
を計算すればいいです。
普通に近似を上げるなら1/(1-α)を展開します。
1/(1-α)=Ao+A1α+A2α^2+A3α^3+...②.
として、第一近似がα=0と置いたときです。左辺=1、右辺=AoですからAo=1となります。ここまででやめれば1-α≒1としたのと同じです。
次に両辺をαで微分します。
1/(1-α)^2=A1+2A2α+3A3α^2+...
で、ここでα=0とすれば1=A1となります。更にαで微分します。
2/(1-α)^3=2A2+3・2A3α+4・3α^2+...
ここでα=0とすれば2=2A2即ちA2=1を得ます。更に同じことをやるとA3=1, A4=1...を得ます。つまり
1/(1-α)=1+α+α^2+α^3+α4+...④
となります。もし①のような形で厳密解(?)がでるならそれでやるべきですし、そうでないなら④のように展開して近似です。この展開をどこで止めるかは要求される精度によります。もしαが0.1なら1/(1-α)=1.1111...ですから、この場合1に近似して計算すると答えは一応有効数字一桁でしょう。もしαが0.01なら1/(1-α)=1.0101...です。これを1としたのですから答えの有効数字二桁です。もしαが0.001ならば1/(1-α)=1.001001...で0.1%ましです。これなら1で近似しても得られる値の有効数字は三桁です。

1/(1-α)≒1+αにしたらどの程度よくなるでしょうか。α=0.1ならば1/(1-α)=1.1111に対して1.1としたのですから答えは真の値より1%低いです。つまり二桁信用できるようになります。α=0.01ならば1/(1-α)=1.010101...の時、1.01と近似するので真の値より0.01%低いです。つまり得られる値が四桁信用できます。α=0.001ならば、1/(1-α)=1.001001001...の時1.001と近似するので真の値より0.0001%低いです。得られる値が六桁信用できるようになります。αが小さければ小さいほど近似のレベルがあがります。

質問した人からのコメント

2011/1/30 23:23:50

具体例つきで分かりやすく説明して下さりありがとうございました。展開方法もまったく知識がなかったのですが納得できました。ありがとうございました。

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nltmmsさん

2011/1/2401:50:30

近似の精度が異なるだけで、両方とも正しい近似です。
関数はテーラー展開で多項式にすることができますが、どの項まで使うかは誤差の大きさによります。一次式まで使えば一次近似、二次式まで使えば二次近似…のように。
たとえばあなたの挙げた問題でαが0.1とかなら二次近似くらいまでした方がいいでしょうが、α=0.001とかなら定数近似でも誤差は0.001で十分小さいので良い近似になってます。

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