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一次変換・・・・・・・・・・・

pokemon0131さん

2011/10/818:42:57

一次変換・・・・・・・・・・・

一次変換 fによる基本ベクトル e1=(1.0) e2=(0.1) の像を f(e1)=(3.2) f(e2)=(-2.1) とする。

(1)一次変換 fを表わす行列を求めなさい。
(2)ベクトル x=(1.3)の一次変換 fによる像を求めない

行列((1.1)(1.-2))により表わされる一次変換による 直線y=xの像を求めなさい。

勉強し始めたばかりで つまずいてます。

(1)(2) は、自分なりに やってみたら f=((3.2)(-2.2)) (-3.5)になりました。<(_ _)>

多分間違ってると思うので、 教えてください。<(_ _)> 解説があると ありがたいです。_(._.)_

この質問は、活躍中のチエリアンに回答をリクエストしました。

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編集あり2011/10/900:09:13

> 一次変換 fによる基本ベクトル e1=(1.0) e2=(0.1) の像を f(e1)=(3.2) f(e2)=(-2.1) とする。

この前提条件は、非常に重要な意味を持ちます。

基本ベクトルは座標系のX軸とY軸を表現する重要なベクトルです。これがどのように写像されるかが分かれば、変換行列も一意に(ひとつに)決まりますし、変換後の座標系も決まります。
f(e1)が新しい座標系のX軸になり、f(e2)が新しい座標系のY軸になるんです。

このときの一次変換fの行列はf(e1)とf(e2)を各列に並べるだけで求まります。
| 3 -2 |
| 2 1 |
(カッコを 棒線"|" で代用します、行列式みたいに見えるけど勘弁して下さい)

確認のため、fを実際に計算してみましょう。fの行列を
| a b |
| c d |
と書くことにします。
| a b | | 1 |
| c d | | 0 |
を計算すると (a・1+b・0, c・1+d・0) = (a, c)
結果として、e1=(1,0)が(a, c)に変換されることになります。
記号"・"は、通常の「積」(掛け算)の記号「×」と同じだと思って下さい。

同じく
| a b | | 0 |
| c d | | 1 |
を計算すると (a・0+b・1, c・0+d・1) = (b, d)
結果としてe2=(0,1)が(b, d)に変換されることになります。
つまり、
| a b |
| c d |
という一次変換行列は
e1=(1, 0)を f(e1)=(a, c)
e2=(0, 1)を f(e2)=(b, d)
に変換するわけです。

今、f(e1)=(3,2)ですから、(a, c) = (3, 2) となります。
つまり f(e1)がそのままfの一列目に並ぶ わけです。
同じく、f(e2)=(-2,1)ですから、(b, d) = (-2, 1) となります。
つまり f(e2)がそのままfの二列目に並ぶ わけです。

だから、基本ベクトルがどのように変換されるかが分かっていれば、方程式を解かなくても f の行列は求まってしまうのですね。
(1)の問題は、この基本ベクトルと f の関係(各列に並べるだけ)を理解してもらうための問題なのです。

ここまでは宜しいでしょうか?

(2)は、求めたfを使って実際に f(x)を計算するだけ。
| 3 -2 | | 1 |
| 2 1 | | 3 |
(3・1+(-2)・3, 2・1+1・3) = (-3, 5)
つまり f(x) = (-3, 5) となります。


次に
行列((1.1)(1.-2))により表わされる一次変換による 直線y=xの像を求めなさい
ですが、この変換行列をgと呼ぶことにしましょう。

一次変換gによって、点(x, y)は次のように写像されます。
| 1 1 | | x |
| 1 -2 | | y |
を計算すると (1・x+1・y, 1・x+(-2)・y) = (x+y, x-2y) ですね。
g(x,y) = (x+y, x-2y)
となります。

今、y=xですから、点(x,y)のyをxに置き換えることができます。
(x+y, x-2y) = (x+x, x-2x) = (2x, -x)
g(x,y) = (2x, -x)
ですね。

gによって原点(0,0)を写像すると、像もやっぱり(0,0)になりますから、新しい直線も原点を通過します。
だから、新しい直線を Y = aX と書くことにします。

gによる点(x,y)の像を(X,Y)と書くと、
X = 2x
Y = -x
になるので、
-x = a・2x
a = (-x) / (2x) = -1/2

よって、直線y=xの像は 直線Y=(-1/2)X になります。

試しに、直線y=xの上の点(1,1)の像が、直線Y=(-1/2)X の上の点になっていることを確認しましょう。
g(1,1) = (2, -1)
直線Y=(-1/2)X に X=2を代入すると Y=-1
直線y=x上の点(1,1)の像は、ちゃんとY=(-1/2)Xの上の点になっていることを確認できました。

以上、わからない点があれば補足に書いてお尋ね下さい。


【ご参考】
一次変換を図示した例を見つけました。
一次変換による点の動きや、正方形が平行四辺形に写像される様子を図として眺めることができます。

一次変換の概念を理解するのに役立ちますので、ぜひともご覧下さい。
説明の言葉は少し難しいから(大学で学ぶ『線形代数』(※)の言葉で書かれているから)、説明を十分に理解できなくても気にしなくて良いです。図だけを眺めて、一次変換の意味を感覚的につかんでもらえれば幸いです。

(※)ベクトルや行列は数学の「線形代数」という分野に分類されます。英語でLinear Algebraと書きますが、linearは日本語で「線形(線型)」とか「一次」(一次元の一次と同じ、二次元や三次元の高次元ではないという意味)と訳されます。

http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwasen/1jihenkan/1jihenkan...
赤い点(丸印なし)が、丸印のついた赤い点に写像される様子を示しています。
一次変換で「うずまき」が発生する様子を眺めることができます。

http://homepage2.nifty.com/eman/math/linear06.html
「行列の中身と変換のイメージ」のところを見て下さい。
基本ベクトルを辺に持つ正方形が平行四辺形に変換される様子を示しています。
f(e1)やf(e2)が新しい座標系のX軸とY軸になる様子を感覚的に理解しやすいと思います。

こうやって図で眺めると、一次変換や行列って面白いと思いませんか?

質問した人からのコメント

2011/10/12 17:21:27

成功 大変わかりやすい説明ありがとうございました。
URLまでありがとうございました。

ちょい足しを取り消しますが
よろしいですか?

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