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解決済みのQ&A

確率変数Xの分散V(X)の展開式で質問があります。

fumimoriiさん

確率変数Xの分散V(X)の展開式で質問があります。

私の持っている確率に関するテキストで以下のように展開式が組まれています。
なぜⅰ式からⅱ式が導かれるのかが理解できません。

ご存じの方がいらっしゃいましたらご教示ください。
よろしくお願いいたします。


V(X)=E[X-E(X)]^2
=E(X)^2-E[2E(X)X]+E[E(X)]^2 ・・・・・・ⅰ
=E(X)^2-2E(X)E(X)+{E(X)}^2・・・・・・・・・ⅱ

  • 質問日時:
    2013/4/1 23:06:02
  • 解決日時:
    2013/4/2 00:43:41
  • 閲覧数:
    223
    回答数:
    2
  • お礼:
    知恵コイン
    25枚

ベストアンサーに選ばれた回答

jansdfjnadifeさん

E(X)はXの値には依存せず、定数です。
ここで期待値には線形性があることを思い出してください
つまり
E(aX)=aE(X)…①
です
①でa=2E(X)とすれば
E[2E(X)X]=2E(X)E(X)
ですし、①でa=E(X)とすれば
E[E(X)]=E[E(X)*1]=E(X)*E(1)となりますが、E(1)=1ですから
E[E(X)]=E(X)
となります。
定数であることを強調するためにμ=E(X)とかいた方がわかりやすいかもしれません。

ちなみにご質問の式は少し間違えています。(タイプミスみたいなものだと思いますが)
上で書いたようにμで正しく書き直すと
V(X)=E[(X-E(X))^2]
=E[(X-μ)^2]
=E(X^2-2μX+μ^2)
=E(X^2)-E(2μX)+E(μ^2)
=E(X^2)-2μE(X)+μ^2
=E(X^2)-μ^2
という形まで計算することができます。

質問した人からのお礼

  • 降参ご教示頂きましてありがとうございました。
    ご丁寧に解説頂き、非常に勉強になりました。
  • コメント日時:2013/4/2 00:43:41

グレード

ベストアンサー以外の回答

(1件中1〜1件)

 

k35x255さん

V(X)=E(X-E(X))^2
=Σ(i=1→n)(Xi-E(X))^2Pi
=Σ(i=1→n)(Xi^2-2XiE(X)+(E(X))^2)Pi
=Σ(i=1→n)(Xi^2Pi-2XiPiE(X)+(E(X))^2Pi)
=Σ(i=1→n)Xi^2Pi-2E(X)Σ(i=1→n)XiPi+(E(X))^2Σ(i=1→n)Pi
=E(X^2)-2E(X)E(X)+(E(X))^2
(Σ(i=1→n)XiPi=E(X)(定義通り)、Σ(i=1→n)Pi=1(起こりうるすべて場合の確率の和は1)、E(X)はiの値に無関係なのでΣの前に出せる)

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