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確率変数Xの分散V(X)の展開式で質問があります。

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質問者

fumimoriiさん

2013/4/123:06:02

確率変数Xの分散V(X)の展開式で質問があります。

私の持っている確率に関するテキストで以下のように展開式が組まれています。
なぜⅰ式からⅱ式が導かれるのかが理解できません。

ご存じの方がいらっしゃいましたらご教示ください。
よろしくお願いいたします。


V(X)=E[X-E(X)]^2
=E(X)^2-E[2E(X)X]+E[E(X)]^2 ・・・・・・ⅰ
=E(X)^2-2E(X)E(X)+{E(X)}^2・・・・・・・・・ⅱ

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ベストアンサーに選ばれた回答

2013/4/200:24:19

E(X)はXの値には依存せず、定数です。
ここで期待値には線形性があることを思い出してください
つまり
E(aX)=aE(X)…①
です
①でa=2E(X)とすれば
E[2E(X)X]=2E(X)E(X)
ですし、①でa=E(X)とすれば
E[E(X)]=E[E(X)*1]=E(X)*E(1)となりますが、E(1)=1ですから
E[E(X)]=E(X)
となります。
定数であることを強調するためにμ=E(X)とかいた方がわかりやすいかもしれません。

ちなみにご質問の式は少し間違えています。(タイプミスみたいなものだと思いますが)
上で書いたようにμで正しく書き直すと
V(X)=E[(X-E(X))^2]
=E[(X-μ)^2]
=E(X^2-2μX+μ^2)
=E(X^2)-E(2μX)+E(μ^2)
=E(X^2)-2μE(X)+μ^2
=E(X^2)-μ^2
という形まで計算することができます。

質問した人からのコメント

2013/4/2 00:43:41

降参 ご教示頂きましてありがとうございました。
ご丁寧に解説頂き、非常に勉強になりました。

ちょい足しを取り消しますが
よろしいですか?

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ベストアンサー以外の回答
1〜1件/1件中

k35x255さん

2013/4/200:09:26

V(X)=E(X-E(X))^2
=Σ(i=1→n)(Xi-E(X))^2Pi
=Σ(i=1→n)(Xi^2-2XiE(X)+(E(X))^2)Pi
=Σ(i=1→n)(Xi^2Pi-2XiPiE(X)+(E(X))^2Pi)
=Σ(i=1→n)Xi^2Pi-2E(X)Σ(i=1→n)XiPi+(E(X))^2Σ(i=1→n)Pi
=E(X^2)-2E(X)E(X)+(E(X))^2
(Σ(i=1→n)XiPi=E(X)(定義通り)、Σ(i=1→n)Pi=1(起こりうるすべて場合の確率の和は1)、E(X)はiの値に無関係なのでΣの前に出せる)

ちょい足しを取り消しますが
よろしいですか?

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