球の表面積

kyoncymさん

ほとんど積分の手法なのですが、

球がピッタリと内接している円柱を、球ごと、横にうすくスライスして、
１切れごとの、球の表面と、円柱の側面の面積を比べていきます。

球の中心を含む１切れあたりでは、どっちもほとんど一致するのは、
中学生も納得するはずです。
(このへん納得できない子は、扇形にスライスして、円の面積を説明した時にも納得しなかった子
　なので、そっちを先に納得させるか、諦めるべきかと…)

真ん中から、上下へいくと、円の表面の１切れが、円柱の側面の一切れと比べて、
小さくみえてくるので、ここが大事な、ごまかし(^^;どころ。

(回転体として)回す半径が小さくなり、１周の長さが短くなった分、帯の幅が、斜めになって
広くなっています。掛け算すると、それが打ち消しあって、同じ面積になることを示すのが、
最大のポイントです。

球の半径がＲで、球の中心から上に(下にでもいいですが)、a行ったところの、切り幅・d
の１切れを考える、回転の半径をbとしたら、a^2+b^2=R^2

円柱の側面のその１切れ分の面積は、2πＲ×d＝2πRd

球の表面のその１切れ分の面積を求めると、１周が2πb、斜めの帯の幅をｃとすると、
ｃ：ｄ＝Ｒ：ｂなので、ｃ＝Rd/ｂ、よって、面積は、2πb×Rd/b＝2πＲｄ

つまり、１切れ分の面積がどっちも同じということは、合計したもの、
円柱の側面積と、球の表面積は等しい、ことになります。

こんなんでどうですか？図もなく解りにくいかもしれませんし、理解はさせられても、
納得させるのは、また別口で大変なのですが…。がんばってください。