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sin36度の値の求め方を教えてください

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質問者

englishmanysさん

2008/2/212:44:53

sin36度の値の求め方を教えてください

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ベストアンサーに選ばれた回答

2008/2/213:53:07

2倍角3倍角を利用する方法

sin2x=2sinxcosx
sin3x=3sinx-4sinx^3
を利用していいなら、

x=36度 とすると、5x=180度なので、
3x=180度-2x
となり、sin(180度-2x) = sin2x なので、
sin3x=sin2x を解きます。

3sinx-4sinx~3=2sinxcosx
ここで、sinxは0でないので、両辺を割って
3-4sinx^2=2cosx
3-4(1-cosx^2)=2cosx
以下略

これより、cosx が求まるので、sinxも求まります。
それが、sin36度となります。

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k036osaさん

2008/2/301:17:33

まず、36°という数字が出てきたら「黄金比」を作り出す数字と覚えてください。損はありませんよ!
頂角が36°の二等辺三角形の底辺と斜辺の辺長比が黄金比です。…[1]
この二等辺三角形を黄金二等辺三角形といいます。
正五角形の対角線と辺長でできる二等辺三角形がこの黄金二等辺三角形です。

ちょっと長くなりました。
本題の回答です。黄金二等辺三角形の頂角36°の頂点をA、底辺の頂点をB・Cとします。
[1]より
BC=2とするとAB=AC=1+√5となります。…[2]

黄金二等辺三角形の底角Bを中心に半径BCの円を描き、ACとの交点をPとします。
△BCPは低角が72°の二等辺三角形となります。つまり、△BCPも黄金二等辺三角形となります。
黄金二等辺三角形は底辺と斜辺の比が黄金比なので、底辺CPから頂点Bまでの長さ(T)がピタゴラスの定理で出ます。…[3]
[3]の計算です。
2:1+√5=CP:2 → CP=4/(1+√5)=√5 -1…[3-1]
T^2=4-(CP/2)^2 → T^2=4-(6 -2√5)/4=4-(3-√5)/2=(5+√5)/2 → T=1/2√2(5+√5) …[3-2]

sin36=T/AB を[2]と[3-2]を代入して計算してみてください。

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2008/2/214:57:40

1辺1の頂角A36° 2つの底角B,C=72°の2等辺三角形をつくる。
1つの底角Bの2等分線を引き対辺ACとの交点をDとする。
2等辺三角形BCDは三角形ABCと相似になり、かつ、
三角形ABDは2等辺三角形なので、BC=BD。これをxとおく
CD=AC-AD=1-x
AB:BC=BD:CD
1:x=x:1-x
x^2=1-x
x^2+x-1=0から
x=(-1+√5)/2
DからABに垂線を引きABとの交点をFとすれば
cos36°=BF/BD=(1/2)/x=1/(2x)
sin36°=√ {1-(1/(2x))^2}=√{4x^2-1}/(2x)
=√{3-4x}/(2x)
=√{5-2√5}/(√5-1)

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